Một nhà địa chất học đang ở địa điểm A trên sa mạc. Anh ta muốn đến điểm B (cũng ở trên sa mạc) và cách A một khoảng bằng 70 k m . Trong sa mạc, xe anh ta chỉ có thể di chuyển với vận
19/22
Một nhà địa chất học đang ở địa điểm \(A\) trên sa mạc. Anh ta muốn đến điểm \(B\) (cũng ở trên sa mạc) và cách \(A\) một khoảng bằng \(70{\rm{km}}\). Trong sa mạc, xe anh ta chỉ có thể di chuyển với vận tốc 30 km/h. Nhà địa chất phải đến được điểm B sau 2 giờ, vì vậy nếu anh ta đi thẳng từ A đến B sẽ không thể đến đúng giờ được. Rất may, có một con đường nhựa song song với đường nối A và B và cách AB một đoạn 10 km (tham khảo hình vẽ). Trên đường nhựa đó, xe nhà địa chất có thể di chuyển với vận tốc 50 km/h. Thời gian ngắn nhất để nhà địa chất di chuyển từ A đến B là bao nhiêu phút?
Đáp án: 116.
Để tiết kiệm thời gian, nhà địa chất sẽ di chuyển theo các đoạn \(AC \to CD \to DB\).
Vì có thể đi nhanh hơn trên \(CD\), ta cần xác định độ dài ngắn nhất của quãng đường \(AC + DB\).
Dễ thấy \(\left( {AC + DB} \right) \to \min \) khi \(AC = BD \Rightarrow CC' = DD'\).
Đặt \(CC' = x\)\(\left( {0 < x < 35} \right)\), tổng thời gian di chuyển là \(f\left( x \right) = \frac{{2\sqrt {{x^2} + 100} }}{{30}} + \frac{{70 - 2x}}{{50}}\) (giờ).
Đạo hàm: \(f'\left( x \right) = \frac{x}{{15\sqrt {{x^2} + 100} }} - \frac{2}{{50}}\); \(f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow 5x = 3\sqrt {{x^2} + 100} \Rightarrow x = 7,5 \in \left( {0;35} \right)\).
Bảng biến thiên:
Vậy thời gian ngắn nhất để nhà địa chất di chuyển từ \(A\) đến \(B\) là \(\frac{{29}}{{15}} \times 60 = 116\) phút.