Một người thợ mộc có một khối gỗ hình hộp chữ nhật OABC . GDEF có kích thước OA = OG = 30 (cm) và OC = 60 (cm). Gắn hệ trục toạ độ Oxyz như hình vẽ bên (1 đơn vị trên trục toạ độ tương ứn
15/22
Một người thợ mộc có một khối gỗ hình hộp chữ nhật \(OABC.GDEF\)có kích thước \(OA = OG = 30\)(cm) và \(OC = 60\)(cm). Gắn hệ trục toạ độ \[Oxyz\]như hình vẽ bên (1 đơn vị trên trục toạ độ tương ứng 10 cm). Người thợ có ý định khoan khối gỗ tại điểm \[M\] là trọng tâm của tam giác \[DGF\]và tiến hành khoan theo hướng của vectơ \(\overrightarrow {FA} \).
[NB] Toạ độ vectơ \(\overrightarrow {FA} \) là \(\left( {3;6;3} \right).\)
[NB] Toạ độ điểm \(M\)là \(\left( {1;2;3} \right).\)
[TH] Mũi khoan luôn nằm trên đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}.\)
[VD, VDC] Để khoan thủng khối gỗ người đó phải dùng mũi khoan có chiều dài tối thiểu là 73 (cm) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Chọn a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng.
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ .
Khi đó ta có tọa độ các điểm:
\(O\left( {0;0;0} \right),A(3;0;0)\),\(C(0\,;6\,;0),G(0\,;0\,;3),B(3\,;6\,;0),D\left( {3\,;0\,;3} \right),E(3\,;6\,;3),F\left( {0\,;6\,;3} \right)\)
a) Ta có \(\overrightarrow {FA} = \left( {3; - 6; - 3} \right).\)
Vậy a) sai.
b) \(M\) là trọng tâm tam giác \(DGF\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{3 + 0 + 0}}{3} = 1\\{y_M} = \frac{{0 + 0 + 6}}{3} = 2\\{z_M} = \frac{{3 + 3 + 3}}{3} = 3\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {1;2;3} \right).\).
Vậy b) đúng.
c) Mũi khoan nằm trên đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\) nhận vectơ \(\overrightarrow {FA} = \left( {3; - 6; - 3} \right) = 3\left( {1; - 2; - 1} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Phương trình đường thẳng chứa mũi khoan là: \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}.\)
Vậy c) đúng.
d) Gọi \(N = d \cap (Oxz)\).
Phương trình mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right):y = 0\).
Phương trình tham số của đường thẳng chứa mũi khoan là : \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - 2t\\z = 3 - t\end{array} \right..\)
Ta có \(y = 2 - 2t = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\z = 2\end{array} \right. \Rightarrow N\left( {2;0;2} \right)\).
Chiều dài tối thiểu của mũi khoan là:\(l \ge 10MN = 10\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{( - 1)}^2}} \approx 24\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Vậy d) sai.