Một người thợ cơ khí cần cắt vừa đủ một cây sắt dài 100 dm thành các đọan để hàn

Gọi cạnh hình lập phương bằng \(x\left( {{\rm{dm}}} \right)\). ĐK:
Gọi chiều cao bằng chiều rộng là  ĐK: .
Chiều dài hình hộp chữ nhật bằng .
Hình lập phương có 12 cạnh có độ dài bằng .
Hình hộp chữ nhật có 8 cạnh có độ dài bằng  và 4 cạnh có độ dài .
Người thợ cắt vừa đủ một cây sắt dài  nên ta có:

\({\rm{x}} > 0\)

Thể tích khối lập phương là \({V_1} = {x^3}\).
Thể tích khối hộp chữ nhật là \({V_2} = y \cdot y \cdot 6y = 6{y^3}\).
Tổng thể tích hai hình là: \(V = {V_1} + {V_2} = {x^3} + 6{y^3} = {\left( {\frac{{25 - 8y}}{3}} \right)^3} + 6{y^3}\).

\(12x + 8y + 4.6y = 100 \Leftrightarrow 12x + 32y = 100 \Leftrightarrow 3x + 8y = 25 \Leftrightarrow x = \frac{{25 - 8y}}{3}\)

Ta có: \({x^3} + {3^3} + {3^3} \ge 3\sqrt[3]{{{x^3} \cdot {3^3} \cdot {3^3}}} = 27x\)

\(6\left( {{y^3} + {2^3} + {2^3}} \right) \ge 6 \cdot 3 \cdot \sqrt[3]{{{y^3} \cdot {2^3} \cdot {2^3}}} = 72y\)

Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức ta được:

\({x^3} + 6{y^3} + 150 \ge 27x + 72y\)

\( \Leftrightarrow V + 150 \ge 9\left( {3x + 8y} \right)\)

\( \Leftrightarrow V + 150 \ge 9.25\)

\( \Leftrightarrow V + 150 \ge 225\)

\( \Leftrightarrow V \ge 75\)

Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y = 2}\end{array}} \right.\).

Vậy tổng thể tích của hai hình thu được nhỏ nhất bằng \(75{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}\) khi độ dài cạnh hình lập phương bằng \(3{\rm{dm}}\), độ dài chiều rộng và chiều cao hình hộp chữ nhật bằng \(2{\rm{dm}}\), chiều dài hình hộp chữ nhật bằng \(12{\rm{dm}}\).