Một người nông dân dùng 15 000 000 đồng mua nguyên vật liệu làm hàng rào hình chữ E để rào khu đất bên bờ sông (như hình vẽ bên). Chi phí nguyên vật liệu được tính theo chiều dài của hàng rào

Gọi chiều dài của hàng rào song song với bờ sông (vị trí 1) là \(x\) (mét) (\(x > 0\)).

Gọi chiều dài của mỗi hàng rào trong ba hàng rào vuông góc với bờ sông (vị trí 2, 3, 4) là \(y\) (mét) (\(y > 0\)).

Chi phí mua nguyên vật liệu cho hàng rào vị trí 1 là: \(60\,\,000x\) (đồng).

Chi phí mua nguyên vật liệu cho ba hàng rào vị trí 2, 3, 4 là: \(3 \cdot 50\,\,000y = 150\,\,000y\) (đồng).

Tổng số tiền người nông dân dùng là 15 000 000 đồng, ta có phương trình:

\(60\,\,000x + 150\,\,000y = 15\,\,000\,\,000\)

\(2x + 5y = 500\quad (1)\)

Khu đất được rào là hình chữ nhật có hai kích thước là \(x\) và \(y\).

Diện tích khu đất là: \(S = x.y\) (\({m^2}\)).

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM (Bất đẳng thức Cauchy) cho hai số dương 2x và 5y, ta có:

\(2x + 5y \ge 2\sqrt {2x \cdot 5y} \)

Thay \((1)\) vào bất đẳng thức trên:

\(500 \ge 2\sqrt {10xy} \)

\(250 \ge \sqrt {10xy} \)

\(62500 \ge 10xy\)

\(xy \le 6250\)

Hay \(S \le 6250\).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(2x = 5y\).

Kết hợp với \(2x + 5y = 500\), ta có:

\(2x = 5y = \frac{{500}}{2} = 250\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 125}\\{y = 50}\end{array}} \right.{\rm{ }}\)(thỏa mãn điều kiện \(x,y > 0\))

Vậy diện tích lớn nhất của khu đất có thể rào được là 6250 \({m^2}\) khi chiều dài hàng rào song song bờ sông là 125 m và mỗi hàng rào vuông góc bờ sông là 50 m.