Một người nông dân có 15 triệu đồng, muốn sử dụng hết số tiền này để làm một cái hàng rào hình chữ E dọc theo bờ của một con sông bao quanh khu đất, gồm hai phần hình chữ nhật bằng nhau để tr
29/86
Một người nông dân có 15 triệu đồng, muốn sử dụng hết số tiền này để làm một cái hàng rào hình chữ E dọc theo bờ của một con sông bao quanh khu đất, gồm hai phần hình chữ nhật bằng nhau để trồng rau (tham khảo hình vẽ).
Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 60.000 đồng một mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song và cách đều với nhau thì chi phí nguyên vật liệu là 50.000 đồng một mét. Tính diện tích lớn nhất của khu đất giới hạn bởi bờ sông và hàng rào nói trên (nhập đáp án vào ô trống, đơn vị: m2)
Đáp án: _____ m2.
Đáp án đúng là "6250"
Phương pháp giải
Thiết lập hàm số diện tích của khu đất theo biến là độ dài mỗi mặt hàng rào vuông góc bờ sông, sau đó tìm giá trị lớn nhất của hàm số vừa lập.
Lời giải
Gọi \(x\left( {\rm{m}} \right),y\left( {\rm{m}} \right)\) lần lượt là độ dài mỗi mặt hàng rào vuông góc bờ sông và mặt hàng rào song song bờ sông. Điều kiện: \(x,y > 0\).
Đổi 60.000 đồng \( = 0,06\) triệu đồng; 50.000 đồng \( = 0,05\) triệu đồng.
Ta có phương trình \(3.\left( {0,05x} \right) + 0,06y = 15 \Leftrightarrow y = \frac{{15 - 0,15x}}{{0,06}} = 250 - \frac{5}{2}x\).
Diện tích khu đất nói trên là \(S\left( x \right) = x.\left( {250 - \frac{5}{2}x} \right) = 250x - \frac{5}{2}{x^2}\)
Ta có
\(250x - \frac{5}{2}{x^2} = - \frac{5}{2}\left( {{x^2} - 100x} \right) = - \frac{5}{2}\left( {{x^2} - 100x + 2500 - 2500} \right) = 6250 - \frac{5}{2}{(x - 50)^2} \le 6250\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi \({(x - 50)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 50\).
Do đó \(\mathop {{\rm{Max}}}\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} S\left( x \right) = 6250\), đạt được khi \(x = 50\).
Vậy diện tích lớn nhất của khu đất giới hạn bởi bờ sông và hàng rào nói trên là \(6250\,\,{m^2}\).