Một người kĩ sư thiết kế một đường hầm một chiều có mặt cắt là một nửa hình elip, chiều rộng của hầm là 12 m, khoảng cách từ điểm cao nhất của elip so với mặt đường là 3 m

Giả sử phương trình chính tắc của elip là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (trong đó \(a > b > 0\)).

Vì chiều rộng của hầm là 12 m nên \(OA = 12:2 = 6\) (m) nên điểm \(A\) có tọa độ \(\left( {6;\,\,0} \right)\).

Khoảng cách từ điểm cao nhất của elip so với mặt đường là 3 m nên \(OB = 3\) m, do đó điểm \(B\) có tọa độ \(\left( {0;\,\,3} \right)\).

Do các điểm \(B\left( {0;\,\,3} \right)\) và \(A\left( {6;\,\,0} \right)\) thuộc elip nên thay vào phương trình của elip ta được:

\(\frac{{{0^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{3^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow {b^2} = {3^2} = 9\)

\(\frac{{{6^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow {a^2} = {6^2} = 36\)

Suy ra phương trình của elip là: \(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).

Với những xe tải có chiều cao 2,8 m, chiều rộng của xe tải là 3 m, nếu xe chạy chính giữa hầm thì khoảng cách từ tâm xe tới mỗi bên xe không quá \(3:2 = 1,5\) m, tương ứng với \(x = 1,5\). Thay vào phương trình của elip để ta tìm ra độ cao \(y\) của điểm \(M\) (có hoành độ bằng 1,5 thuộc elip) so với trục \(Ox\). Ta có: \(\frac{{{x_M}^2}}{{36}} + \frac{{{y_M}^2}}{9} = 1\).

Suy ra: \({y_M} = 3.\sqrt {1 - \frac{{x_M^2}}{{36}}}  = 3.\sqrt {1 - \frac{{{{1,5}^2}}}{{36}}}  \approx 2,905 > 2,8\).

Kết luận: Ô tô tải có thể đi được qua hầm, tuy nhiên cần khuyến cáo ô tô phải đi vào chính giữa hầm.