Một người kĩ sư thiết kế một đường hầm một chiều có mặt cắt là một nửa hình elip, chiều rộng của hầm là 12 m , khoảng cách từ điểm cao nhất của elip so với mặt đường là 3 m .
59/59
Một người kĩ sư thiết kế một đường hầm một chiều có mặt cắt là một nửa hình elip, chiều rộng của hầm là \[12\,{\rm{m}}\], khoảng cách từ điểm cao nhất của elip so với mặt đường là \[3\,{\rm{m}}\]. Người kĩ sư này muốn đưa ra cảnh báo cho các loại xe có thể đi qua hầm. Biết rằng những loại xe tải có chiều cao \[2,8\,{\rm{m}}\] thì có chiều rộng không quá \[3\,{\rm{m}}\]. Hỏi chiếc xe có chiều cao \[2,8\,{\rm{m}}\] có thể đi qua hầm được không?
Hướng dẫn giải
Phương trình chính tắc của elip có dạng \[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,(a > b > 0)\]
Theo đề bài thì elip đi qua các điểm \[A(6;0)\]và \[B(0;3)\].
Do đó ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{6^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\\\frac{{{0^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{3^2}}}{{{b^2}}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 36\\{b^2} = 9\end{array} \right.\].
Vậy phương trình của elip là \[\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\,.\]
Với những xe tải có chiều cao \[2,8\,{\rm{m}}\], chiều rộng của xe tải là \[3\,{\rm{m}}\] tương ứng với \[x = 1,5.\]Thế \[x = 1,5\] vào phương trình elip ta được \[\frac{{{{1,5}^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\, \Rightarrow y = 3\sqrt {1 - \frac{{{{1,5}^2}}}{{36}}} \approx 2,9 > 2,8.\]
Vậy ô tô tải có thể qua đường hầm, tuy nhiên ô tô phải đi vào chính giữa đường hầm.