Một người điều khiển ô tô đang ở đường dẫn muốn nhập làn vào đường cao tốc. Khi ô tô cách điểm nhập làn 210 m, tốc độ của ô tô là 36 km/h. Ba giây sau đó, ô tô bắt đầu tăng tốc với tốc độ v(t
15/22
Một người điều khiển ô tô đang ở đường dẫn muốn nhập làn vào đường cao tốc. Khi ô tô cách điểm nhập làn 210 m, tốc độ của ô tô là 36 km/h. Ba giây sau đó, ô tô bắt đầu tăng tốc với tốc độ \[v(t) = at + b\] \[\left( {a,b \in \mathbb{R},a > 0} \right)\], trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc. Biết rằng ô tô nhập làn cao tốc sau 12 giây và duy trì sự tăng tốc trong 24 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.
Giá trị của \(b\) là 10.
Quãng đường \(S\left( t \right)\) (đơn vị: mét) mà ô tô đi được trong thời gian \(t\) giây \[\left( {0 \le t \le 24} \right)\]kể từ khi tăng tốc được tính theo công thức \[S\left( t \right) = \int_0^{24} v \left( t \right){\rm{d}}t\].
Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là 180 m.
Sau 24 giây kể từ khi tăng tốc, tốc độ của ô tô không vượt quá tốc độ tối đa cho phép là 100 km/h.
a) Khoảng cách từ vị trí ban đầu đến điểm nhập làn là 210 m.
Tốc độ tại thời điểm cách điểm nhập làn 210 m là \[{v_0} = 36{\rm{ km/h}}\] hay \[{v_0} = 10{\rm{ m/s}}\].
Thay vào công thức \[v\left( 0 \right) = a.\left( 0 \right) + b = 10 \Rightarrow b = 10\].
Nên a) Đúng.
b) Công thức quãng đường vật đi được từ thời điểm 0 đến t là \[S\left( t \right) = \int_0^t v \left( x \right){\rm{d}}x.\]
Nên b) Sai.
c) Sau 3 giây duy trì tốc độ này, ô tô mới bắt đầu tăng tốc.
Quãng đường đi được trong 3 giây đầu: \[{S_1} = 10.3 = 30{\rm{ m}}\].
Quãng đường còn lại từ khi bắt đầu tăng tốc đến điểm nhập làn \[{S_{tt}} = 210 - 30 = 180{\rm{ m}}\].
Nên c) Đúng.
d) Thời gian từ lúc tăng tốc đến khi nhập làn là 12 giây.
Quãng đường đi được trong 12 giây này là 180 m:
\[\int_0^{12} {\left( {at + 10} \right)} {\rm{d}}t = 180 \Rightarrow \left. {\left( {\frac{1}{2}a{t^2} + 10t} \right)} \right|_0^{12} = 180\]
\[72a + 120 = 180 \Rightarrow 72a = 60 \Rightarrow a = \frac{5}{6}{\rm{ m/}}{{\rm{s}}^2}\].
Tốc độ tại thời điểm t = 24s ta có \[v\left( {24} \right) = \frac{5}{6}.\left( {24} \right) + 10 = 20 + 10 = 30{\rm{ m/s}}\].
Hay vận tốc là \(108{\rm{km/h}}\).
Nên d) Sai