Một người ăn kiêng muốn trộn hai loại thức ăn A và B để tạo ra một hỗn hợp chứa ít nhất 50 g protein, ít nhất 130 mg canxi và không quá 550 calo . Giá trị dinh dưỡng của thức ăn loại

Hướng dẫn giải

Gọi \(x\) là số ly thức ăn loại \(A\), \(y\) là số ly thức ăn loại \(B\) \(\left( {x;\,y \ge 0} \right)\).

Số protein trong \(x\) ly thức ăn loại \(A\) và \(y\) ly thức ăn loại \(B\) là: \(20x + 10y\,\,\left( g \right)\).

Vì hỗn hợp chứa ít nhất \(50g\) protein nên ta có bất phương trình: \(20x + 10y\, \ge 50\).

Số canxi trong \(x\) ly thức ăn loại \(A\) và \(y\) ly thức ăn loại \(B\) là: \(20x + 50y\,\,\left( {mg} \right)\).

Vì hỗn hợp chứa ít nhất \(130mg\) canxi nên ta có bất phương trình: \(20x + 50y\, \ge 130\).

Số calo trong \(x\) ly thức ăn loại \(A\) và \(y\) ly thức ăn loại \(B\) là: \(100x + 150y\,\,\left( {calo} \right)\).

Vì hỗn hợp chứa không quá \(550\,calo\) canxi nên ta có bất phương trình: \(100x + 150y\, \le 550\).

Khi đó ta có hệ bất phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}20x + 10y\, \ge 50\\20x + 50y \ge 130\\100x + 150y \le 550\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + y\, \ge 5\\2x + 5y \ge 13\\2x + 3y \le 11\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\]

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ta được:

Vì vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong tam giác \(MNP\) với \(M\left( {\frac{3}{2};\,\,2} \right)\), \(N\left( {1;\,\,3} \right)\), \(P\left( {4;\,\,1} \right)\).                                    

Giá tiền cho \(x\) ly thức ăn loại \(A\) và \(y\) ly thức ăn loại \(B\) nên ta có hàm \(F\left( {x;\,\,y} \right) = 110x + 60y\) (nghìn đồng).

Ta có:

\(F\left( {\frac{3}{2};\,\,2} \right) = 110.\frac{3}{2} + 60.2 = 285\);

\(F\left( {1;\,\,3} \right) = 110.1 + 60.3 = 290\);

\(F\left( {4;\,\,1} \right) = 110.4 + 60.1 = 500\).

Vậy người ăn kiêng phải sử dụng bao \(1\) ly thức ăn loại \(A\) và \(3\) ly thức ăn loại \(B\) để số tiền bỏ ra là ít nhất.