Một nghệ nhân có 9 chiếc đèn lồng với độ dài dây treo cm lần lượt là

Đáp án: \[7560\].

Tập hợp độ dài dây treo là \[S = \left\{ {1;2;3; \ldots ;9} \right\}\] (chục cm).

Số phần tử không gian mẫu \[n\left( \Omega \right) = A_9^6 = 60480\].

Để chiều dài dây treo của đèn ở giữa bằng trung bình cộng chiều dài dây treo của hai đèn ở hai đầu mút cạnh đó thì chiều dài dây treo đèn ở các đỉnh \[A\], \[B\], \[C\] phải cùng tính chẵn lẻ (để chiều dài dây treo tại các vị trí \[M\], \[N\], \[P\] là một số thuộc tập \[S\]).

Hơn nữa, chiều dài các dây treo tại các vị trí \[A\], \[B\], \[C\] phải không tạo thành cấp số cộng (vì nếu \[A + C = 2B\] thì \[B = P\]).

TH1: \[A\], \[B\], \[C\] cùng chẵn, tức thuộc tập hợp \[\left\{ {2;4;6;8} \right\}\].

Bỏ các bộ \[A\], \[B\], \[C\] lập thành cấp số cộng, ta có \[2\] bộ \[A\], \[B\], \[C\] thỏa mãn là \[\left\{ {2;4;8} \right\}\], \[\left\{ {2;6;8} \right\}\].

Với mỗi bộ, có \[3!\] cách sắp xếp.

Khi đó trường hợp này có \[2 \cdot 3!\] cách sắp xếp.

TH2: \[A\], \[B\], \[C\] cùng lẻ, tức là thuộc tập hợp \[\left\{ {1;3;5;7;9} \right\}\].

Bỏ các bộ \[A\], \[B\], \[C\] lập thành cấp số cộng, ta có \[6\] bộ \[A\], \[B\], \[C\] thỏa mãn là \[\left\{ {1;3;7} \right\}\], \[\left\{ {1;3;9} \right\}\], \[\left\{ {1;5;7} \right\}\],\[\left\{ {1;7;9} \right\}\]\[\left\{ {3;5;9} \right\}\], \[\left\{ {3;7;9} \right\}\].

Với mỗi bộ, có \[3!\] cách sắp xếp.

Khi đó trường hợp này có \[6 \cdot 3!\] cách sắp xếp.

Do đó \[p = \frac{{2 \cdot 3! + 6 \cdot 3!}}{{60480}} = \frac{1}{{1260}}\].

Vậy \[\frac{6}{p} = \frac{6}{{\frac{1}{{1260}}}} = 7560\].