Một mô hình tứ diện ABCD làm bằng khung nhôm có hai mặt

17/22

Một mô hình tứ diện \[ABCD\] làm bằng khung nhôm có hai mặt \[\left( {ACD} \right)\] và \[\left( {BCD} \right)\]vuông góc với nhau biết \[AC = AD = BC = BD = 3(dm)\], cạnh \[CD = a(dm)\]. Để cho đẹp người ta muốn hai mặt \[\left( {ABC} \right)\] và \[\left( {ABD} \right)\] cũng vuông góc với nhau. Hãy tính \[a.\]( kết quả làm tròn đến phần trăm).

Giải thích

Đáp án: \[3,46\].

Một mô hình tứ diện ABCD làm bằng khung nhôm có hai mặt (ảnh 1)

Gọi \[M,N\] lần lượt là trung điểm của \[AB,CD\]

cân nên \[AN \bot CD,BN \bot CD,CM \bot AB,DM \bot AB\].

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {ACD} \right)\] và \[\left( {BCD} \right)\] là \[\widehat {ANB} = {90^0}\](\[\left( {ACD} \right)\] và \[\left( {BCD} \right)\]vuông góc với nhau), góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] và \[\left( {ABD} \right)\] là \[\widehat {CMD} = {90^0}\] (\[\left( {ABC} \right)\] và \[\left( {ABD} \right)\]vuông góc với nhau). \[AN = \sqrt {9 - \frac{{{a^2}}}{4}} = BN,AB = \sqrt {18 - \frac{{{a^2}}}{2}} ,MD = \sqrt {9 - \frac{{18 - \frac{{{a^2}}}{2}}}{4}} = \sqrt {\frac{{18 + \frac{{{a^2}}}{2}}}{4}} = MC\].

vuông cân tại M nên \[CD = MD\sqrt 2 \Rightarrow a = 2\sqrt 3 \approx 3,46\left( {dm} \right)\]