Một mô hình khối tròn xoay có trục là đường thẳng MN, khi ta cắt khối tròn xoay đó bởi một mặt phẳng đi qua trục của khối tròn xoay thì ta được mặt cắt có dạng như hình vẽ dưới đây
21/22
Một mô hình khối tròn xoay có trục là đường thẳng \(MN\), khi ta cắt khối tròn xoay đó bởi một mặt phẳng đi qua trục của khối tròn xoay thì ta được mặt cắt có dạng như hình vẽ dưới đây
Biết \(MN = 24\,cm,\,\,ABCD\) là hình chữ nhật có \(AB = 18\,cm,\,\,AD = 36\,cm\), hai cung \(APD\) và \(BQC\) là một phần của các đường parabol với đỉnh lần lượt là \(P,\,Q\) và \(PQ = 10cm\). Thể tích của mô hình đó bằng bao nhiêu xăng ti mét khối? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Đáp án: 3679.
Ta xét hình trên trong hệ trục \(Oxy\) như hình vẽ
+) Xét parabol \((P):\,y = a{x^2} + b\) đia qua điểm \(P(0;5);\,\,A(18;9)\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 5\\{18^2}a + c = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 5\\a = \frac{1}{{81}}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow (P):\,\,y = \frac{{{x^2}}}{{81}} + 5\)
+) Đường thẳng \(AM:\,y = mx + n\) đi qua các điểm \(A(18;9);\,\,M(12;0)\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}12m + n = 0\\18m + n = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{3}{2}\\n = - 18\end{array} \right.\)\( \Rightarrow y = \frac{{3x}}{2} - 18\).
Thể tích khối tròn xoay cần tính là
\(V = 2\left[ {\pi \int\limits_0^{18} {{{\left( {\frac{{{x^2}}}{{81}} + 5} \right)}^2}dx + \pi \int\limits_{12}^{18} {{{\left( {\frac{{3x}}{2} - 18} \right)}^2}dx} } } \right]\)\( = \frac{{5856}}{5}\pi \approx 3679\,\,\left( {c{m^3}} \right)\).