Một miếng nhôm mỏng có dạng hình tam giác ABC đều, cạnh là 16 dm. Thợ làm bảng hiệu cắt một hình chữ nhật MNPQ từ miếng nhôm để làm bảng hiệu cho cửa hàng bán quần áo (với M,N

Đặt \(PQ\,\, = x\) (dm) \(\left( {0 < x < 16} \right)\)

Kẻ \(AH \bot BC\), \(H \in BC\) khi đó vì \(\Delta ABC\)đều nên \(H\) là trung điểm của \(BC\), \(BH = 8\)(dm)

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(H\), theo định lí Pythagore, ta có \(AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {{{16}^2} - {8^2}} = 8\sqrt 3 \,\,{\rm{(dm)}}\)

Ta có: \(QP\,{\rm{//}}\,BC\) suy ra nên \(\frac{{AQ}}{{AB}} = \frac{{QP}}{{BC}}\)

Suy ra \(\frac{{AQ}}{{16}} = \frac{x}{{16}}\) nên \(AQ = x\).

Ta có: \(BQ = AB - AQ = 16 - x\).

Ta có: \(QM{\rm{//}}AH\) nên suy ra \(\frac{{BQ}}{{AB}} = \frac{{QM}}{{AH}}\)

Suy ra \(\frac{{16 - x}}{{16}} = \frac{{QM}}{{8\sqrt 3 }}\) nên \(QM = \frac{{\left( {16 - x} \right)\sqrt 3 }}{2}\).

Diện tích của \(MNPQ\)là: \(S = MQ.QP = \frac{{\left( {16 - x} \right)\sqrt 3 }}{2} \cdot x\).

Hay \(S = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {16x - {x^2}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left[ {64 - {{\left( {8 - x} \right)}^2}} \right] \le \frac{{\sqrt 3 }}{2}.64 = 32\sqrt 3 \)

Dấu “=” xảy ra khi \(x = 8\) (TMĐK).

Vậy diện tích lớn nhất của \(MNPQ\) là \(32\sqrt 3 \,\,{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{.}}\)