Một miếng bìa nhôm mỏng hình tam giác đều ABC, cạnh bằng 16 dm. Thợ làm bảng hiệu cắt một hình chữ nhật MNPQ từ miếng nhôm trên để làm một chiếc bảng hiệu (với M, N thuộc cạnh BC; P, Q lần lư

Do tam giác \[ABC\] nên \[\widehat {B\,} = 60^\circ \]

Ta có: \[MN = QP = x\] (dm) (do \[MNPQ\] là hình chữ nhật) (\[x > 0\])

Dễ chứng minh được \[\Delta QBM = \Delta PCN\]

\[ \Rightarrow BM = NC = \frac{{BC - MN}}{2} = \frac{{16 - x}}{2}\](dm)

Xét \[\Delta BQM\] vuông tại \[B\] có \[QM = BM.\tan B = \frac{{16 - x}}{2}.\tan 60^\circ  = \sqrt 3 .\left( {8 - 0,5x} \right)\] (dm)

Diện tích hình chữ nhật \[MNPQ\] là:

\[S = QM.MN = \sqrt 3 .\left( {8 - 0,5x} \right).x = \sqrt 3 .\left( {8x - 0,5{x^2}} \right)\]

\[\begin{array}{c} =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {{x^2} - 16x} \right) =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {{x^2} - 16x + 64 - 64} \right)\\ =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left[ {{{\left( {x - 8} \right)}^2} - 64} \right]\end{array}\]

Vì \[{\left( {x - 8} \right)^2} \ge 0\] với mọi \[x > 0\]

Suy ra \[{\left( {x - 8} \right)^2} - 64 \ge  - 64\] nên \[ - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left[ {{{\left( {x - 8} \right)}^2} - 64} \right] \le  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\left( { - 64} \right)\] hay \[S \le 32\sqrt 3 \].

Dấu “=” xảy ra khi \[{\left( {x - 8} \right)^2} = 0\] hay \[x = 8\] (TMĐK).

Vậy diện tích hình chữ nhật \[MNPQ\] lớn nhất bằng \[32\sqrt 3 \]\[d{m^2}\] tại \[x = 8dm\].