Một mặt cầu có tâm O nằm trên mặt phẳng đáy của hình chóp tam giác đều S.ABC có

45/62

Một mặt cầu có tâm O nằm trên mặt phẳng đáy của hình chóp tam giác đều S.ABC có tất cả các cạnh bằng nhau, các điểm A, B, C thuộc mặt cầu. Biết bán kính mặt cầu là 1. Tính tổng độ dài l các giao tuyến của mặt cầu với các mặt bên của hình chóp thỏa mãn.

l∈1;2

l∈2;32

l∈3;2

l∈32;1

Giải thích

Đáp án C

Một mặt cầu có tâm O nằm trên mặt phẳng đáy của hình chóp tam giác đều S.ABC có (ảnh 1)

Bán kính mặt cầu OC=R=1. Đặt AB=a>0.

Ta có OA = OB = OC = 1.

Mà tam giác ABC đều ⇒OA=OB=OC=a33 nên suy ra a=3.

Từ giả thiết ta có S.ABC là tứ diện đều ⇒CP=SP=32(P là trung điểm AB)

⇒OP=13CP=12

Ta có tam giác SOP vuông tại O có đường cao OH

⇒OH.SP=SO.PO và SO=SC2−OC2=2,

⇒d=OH=SO.POSP=2.1232=23

Một mặt cầu có tâm O nằm trên mặt phẳng đáy của hình chóp tam giác đều S.ABC có (ảnh 2)

Vì SO>1⇒SAB∩S là đường tròn bánh kính r=R2−d2=73

Xét tam giác vuông SOP có: HP=OP2SP=16, SH=SO2SP=43

Xét tam giác vuông HPA có: HB=HA=73

Giao tuyến của (S) vói amwjt bên (SAB) là cung IJ.

cosAHB^=HA2+HB2−AB22HA.HB=−1314⇒AHB^≈2,76rad=sđAB⏜

Góc ngoài đường tròn là π3=ASB^=sđAB⏜−sđIJ⏜2

⇒sđIJ⏜=sđAB⏜−2π3≈2,76−2π3 => độ dài cung IJ: l1≈2,76−2π373

=> tổng độ dài l các giao tuyến của mặt cầu với các mặt bên của hình chóp là:

l≈3l1=7π3−0,38≈1,77