Một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 12m, độ dài trục bé bằng 8m. Người ta dự định trồng hoa trong một hình chữ nhật nội tiếp của elip như hình vẽ. Hỏi diện tích trồng hoa lớn nhất
20/38
Một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng \(12m\), độ dài trục bé bằng \(8m\). Người ta dự định trồng hoa trong một hình chữ nhật nội tiếp của elip như hình vẽ. Hỏi diện tích trồng hoa lớn nhất có thể là?
\(\frac{{576}}{{13}}{m^2}\);
\(48\,{m^2}\);
\(62\,{m^2}\);
\(46\,{m^2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Đặt phương trình chính tắc của \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).
Ta có \(2a = 12 \Rightarrow a = 6\), \(2b = 8 \Rightarrow b = 4\). Suy ra \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).
Chọn \(C\left( {{x_C};\,{y_C}} \right)\) là đỉnh hình chữ nhật và \({x_C} > 0,{y_C} > 0\).
\( \Rightarrow \frac{{x_C^2}}{{36}} + \frac{{y_C^2}}{{16}} = 1\);
Diện tích hình chữ nhật là \(S = 4{x_C}{y_C} = 48.2.\frac{{{x_C}}}{6}.\frac{{{y_C}}}{4} \le 48\left( {\frac{{x_C^2}}{{36}} + \frac{{y_C^2}}{{16}}} \right) = 48\).
Vậy diện tích trồng hoa lớn nhất có thể là \(48{m^2}\).