Một mảnh đất hình chữ nhật \(ABCD\) có AB =30 m, BC =40 m có hai vị trí \(E\), \(F\) cố định lần lượt thuộc cạnh

Gọi độ dài \(AH = x\,\left( {\rm{m}} \right)\) với \(0 < x < 40\). Khi đó \(HD = 40 - x\,\left( {\rm{m}} \right)\)

Qua \(A\) kẻ đường thẳng song song với \(EF\) cắt \(DC\) tại \(M\)

Khi đó \(\widehat {DHG} = \widehat {DAM} = \widehat {BEF} = 45^\circ \)

Do đó tam giác \(DHG\) vuông cân tại \(D\)

Suy ra \(DH = DG = 40 - x\,\left( {\rm{m}} \right)\)

Như vậy \(GC = DC - DG = 30 - \left( {40 - x} \right) = x - 10\,\left( {\rm{m}} \right)\)

Ta có: \({S_{AHE}} = \frac{1}{2}\, \cdot AH\, \cdot \,AE = \frac{1}{2}\, \cdot \,x \cdot 20 = 10x\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\) 

\({S_{DHG}} = \frac{1}{2}\, \cdot DH\, \cdot DG = \frac{1}{2}\, \cdot \,{\left( {40 - x} \right)^2}\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\)

\({S_{FCG}} = \frac{1}{2}\, \cdot CG\, \cdot \,CF = \frac{1}{2}\, \cdot \,\left( {x - 10} \right)\, \cdot \,\left( {40 - 10} \right) = 15\left( {x - 10} \right)\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\)

\({S_{EFGH}} = {S_{ABCD}} - \left( {{S_{EBF}} + {S_{AEH}} + {S_{HDG}} + {S_{FGC}}} \right)\)

Đặt \(P = {S_{AEH}} + {S_{HDG}} + {S_{FGC}}\)

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \(P = 10x + \frac{{{{\left( {40 - x} \right)}^2}}}{2} + 15\left( {x - 10} \right)\)

\(P = 10x + \frac{{{x^2} - 80x + 1600}}{2} + 15x - 150\)

\(P = \frac{{{x^2}}}{2} - 15x + 650\)

\(2P = {x^2} - 30x + 1300\)

\[2P = {\left( {x - 15} \right)^2} + 1075 \ge 1075\]

Do đó \(P \ge 537,5\)

Dấu  xảy ra khi \(x = 15\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy diện tích lớn nhất của mảnh đất trồng hoa là \(30\,.\,40 - \frac{1}{2}\, \cdot \,{10^2} - 537,5 = 612,5\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).