Một máng nước mưa được làm từ một tấm tôn rộng 45 cm, chiều dài 60 cm bằng cách gấp hai phía của tấm tôn với kích thước bằng 1/3 tấm tôn sao cho nó tạo thành một góc x
22/22
Một máng nước mưa được làm từ một tấm tôn rộng 45 cm, chiều dài 60 cm bằng cách gấp hai phía của tấm tôn với kích thước bằng \(\frac{1}{3}\) tấm tôn sao cho nó tạo thành một góc \(x\) (như hình vẽ).
Hỏi máng chứa được lượng nước mưa tối đa là bao nhiêu \({\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\) (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).
Đổi các kích thước sang đơn vị dm: tấm tôn rộng \(45{\rm{\;cm}} = 4,5{\rm{\;dm}}\), chiều dài \(60{\rm{\;cm}} = 6{\rm{\;dm}}\). Khi gập thành 3 phần bằng nhau, đáy và hai cạnh bên của mặt cắt hình thang cân đều dài \(1,5{\rm{\;dm}}\).
Chiều cao của hình thang cân: \(h = 1,5\sin x\).
Diện tích mặt cắt ngang của máng: \(S = \frac{{\left[ {1,5 + \left( {1,5 + 2 \cdot 1,5\cos x} \right)} \right] \cdot 1,5\sin x}}{2} = 2,25\sin x\left( {1 + \cos x} \right)\).
Thể tích máng nước: \(V = S \cdot 6 = 13,5\sin x\left( {1 + \cos x} \right)\).
Xét hàm số \(f\left( x \right) = \sin x\left( {1 + \cos x} \right)\) trên \(\left( {0;\pi } \right)\), hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = \frac{\pi }{3}\) với \(f\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}\).
Dung tích tối đa bằng: \({V_{{\rm{max}}}} = 13,5 \cdot \frac{{3\sqrt 3 }}{4} \approx 17,537{\rm{\;d}}{{\rm{m}}^3}\). Làm tròn đến hàng phần chục ta được kết quả là \(17,5\).
Đáp số: 17,5.