Một máng nước mưa được làm từ một tấm tôn rộng 45 cm bằng cách gấp hai phía của tấm tôn với kích thước bằng 1/3 tấm tôn sao cho nó tạo thành một góc x (như hình vẽ):

Lời giải:

S_{máng nước} \( = \frac{1}{2} \cdot \left( {{\rm{AB}} + {\rm{CD}}} \right) \cdot {\rm{BH}}\).

Xét DBHC vuông tại H: sin x \( = \frac{{{\rm{BH}}}}{{{\rm{BC}}}} \Rightarrow \) BH = BC. sin x = 15sin x.

Ta có: cos x \( = \frac{{{\rm{HC}}}}{{{\rm{BC}}}} \Rightarrow \) HC = BC. cos x = 15cos x = DK.

Þ CD = DK + KH + HC = 15 + 2HC = 15 + 2.15.cos x.

Khi đó: \({\rm{S}} = \frac{1}{2}\left( {15 + 15 + 30\cos {\rm{x}}} \right) \cdot 15\sin {\rm{x}}\)

= 225 (sin x + sin x. cos x)

= 225\(\left( {\sin {\rm{x}} + \frac{1}{2}\sin 2{\rm{x}}} \right)\).

Xét y = sin x + \(\frac{1}{2}\)sin 2x, y’ = cos x + cos 2x.

y’ = 0 Û cos 2x = cos (x + p)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\rm{x}} = {\rm{\pi }} + {\rm{k}}2{\rm{\pi }}\;\,\left( {\rm{L}} \right)\\{\rm{x}} = \frac{{ - {\rm{\pi }}}}{3} + \frac{{{\rm{k}}2{\rm{\pi }}}}{3} \Rightarrow {\rm{k}} = 1 \Rightarrow {\rm{x}} = \frac{{\rm{\pi }}}{3}\end{array} \right.\).

Vậy \({\rm{x}} = \frac{{\rm{\pi }}}{3}\) = 60^o thỏa mãn yêu cầu bài toán.