Một mái nhà hình tròn được đặt trên ba cây cột trụ. Các cây cột trụ vuông góc với mặt sàn nhà phẳng và có độ cao lần lượt là 6m, 5m, 4m (tham khảo hình vẽ). Ba chân cột là ba đỉnh của một tam
19/25
Một mái nhà hình tròn được đặt trên ba cây cột trụ. Các cây cột trụ vuông góc với mặt sàn nhà phẳng và có độ cao lần lượt là 6m, 5m, 4m (tham khảo hình vẽ). Ba chân cột là ba đỉnh của một tam giác đều trên mặt sàn nhà với cạnh dài 2m. Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ với B ∈ Ox, C ∈ Oy, tia Oz cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow {AA'} \). Chọn gốc toạ độ O trùng với trung điểm của AC và mỗi đơn vị trên trục có độ dài 1m.
Toạ độ các điểm A'(0; −1; 6), B(\(\sqrt 3 \); 0; 0), C(0; 1; 0).
Mặt phẳng (ABC) nhận \(\vec k = \left( {0;0;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Mặt phẳng (A'B'C') nhận \(\vec n = \left( {0;1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
d(B', (ACC'A') = 3.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ với O là trung điểm của AC.
Ta có A(0; − 1; 0), B(\(\sqrt 3 \); 0; 0), C(0; 1; 0), A'(0; −1; 6).
b) Đúng. Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {\sqrt 3 ;1;0} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( {0;2;0} \right)\).
\(\vec u = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0;0;2\sqrt 3 } \right) = 2\sqrt 3 \cdot \left( {0;0;1} \right)\)
Chọn \(\vec k = \frac{1}{{2\sqrt 3 }} \cdot \overrightarrow u \) làm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).
Vậy mặt phẳng (ABC) nhận \(\vec k = \left( {0;0;1} \right)\) là vectơ pháp tuyến.
c) Đúng. A'(0; −1; 6), B'(\(\sqrt 3 \); 0; 5), C'(0; 1; 4).
\(\overrightarrow {A'B'} = \left( {\sqrt 3 ;1; - 1} \right)\), \(\overrightarrow {A'C'} = \left( {0;2; - 2} \right)\)
\(\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right] = \left( {0;2\sqrt 3 ;2\sqrt 3 } \right) = 2\sqrt 3 \cdot \left( {0;1;1} \right)\).
Chọn \(\vec n = \frac{1}{{2\sqrt 3 }} \cdot \overrightarrow {{n_1}} \) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (A'B'C').
Vậy mặt phẳng (A'B'C') nhận \(\vec n = \left( {0;1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
d) Sai. Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ với O là trung điểm AC.
Ta có A(0; −1; 0), C(0; 1; 0), A'(0; −1; 6), C'(0; 1; 4).
\(\overrightarrow {AC} = \left( {0;2;0} \right)\), \(\overrightarrow {AC'} = \left( {0;2;4} \right)\).
\(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AC'} } \right] = \left( {8;0;0} \right)\).
Mặt phẳng (ACC'A') đi qua A(0; −1; 0) và nhận \(\vec n = \left( {8;0;0} \right)\)làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: 8(x − 0) + 0(y + 1) + 0(z − 0) = 0 hay 8x = 0.
d(B', (ACC'A')) = d(B, (ACC'A')) = \(\frac{{\left| {8 \cdot \sqrt 3 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0} \right|}}{{\sqrt {{8^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \sqrt 3 \).