Một mái nhà hình tròn được đặt trên ba cây cột trụ. Các cây cột trụ vuông góc với mặt sàn nhà phẳng và có độ cao lần lượt là 8 m, 9 m, 10 m. Ba chân cột là ba đỉnh của một tam giác trên mặt s

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.           b) Sai.                    c) Đúng.                d) Sai.

a) Đúng. Vì DABC đều có BO là đường cao. Do đó, BO đồng thời là đường trung tuyến. Suy ra, O là trung điểm của AC Þ AO = BC = \(\frac{{AC}}{2}\)= 4 (m).

Vì BO là trung tuyến của tam giác đều có cạnh bằng 8 m nên BO = \(\frac{{8\sqrt 3 }}{2} = 4\sqrt 3 \).

Khi đó tọa độ các điểm là: A'(0; -4; 10), \(B'\left( {4\sqrt 3 ;\,\,0;\,\,9} \right)\), C'(0; 4; 8).

b) Sai. Mặt phẳng (ABC) trùng với mặt phẳng (Oxy) nên có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow k  = \left( {0;\,\,0;\,\,1} \right)\).

Suy ra \(\overrightarrow {A'B'}  = \left( {4\sqrt 3 ;\,\,4;\,\, - 1} \right),\,\,\overrightarrow {A'C'}  = \left( {0;\,\,8;\,\, - 2} \right)\)

c) Đúng. Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&{ - 1}\\8&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{4\sqrt 3 }\\{ - 2}&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{4\sqrt 3 }&4\\0&8\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;\,\,8\sqrt 3 ;\,\,32\sqrt 3 } \right)\).

Suy ra \(\overrightarrow n  = \frac{1}{{8\sqrt 3 }}\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right] = \left( {0;\,\,1;\,\,4} \right)\)là một vectơ pháp tuyến của (A'B'C').

d) Sai. Ta có:

\(\cos \left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right) = \frac{{\left| {0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 4} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}}  \cdot \sqrt {{0^2} + {1^2} + {4^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {17} }} \Rightarrow \left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right) \approx 14^\circ \)

Vậy mái nhà không ở mức tiêu chuẩn