Một mái nhà hình tròn được đặt trên ba cây cột trụ. Các cây cột trụ vuông góc với mặt sàn nhà phẳng và có độ cao lần lượt là 8 m , 9 m , 10 m .
38/54
Một mái nhà hình tròn được đặt trên ba cây cột trụ. Các cây cột trụ vuông góc với mặt sàn nhà phẳng và có độ cao lần lượt là \[8{\rm{m}},\,9{\rm{m}},\,10{\rm{m}}\]. Ba chân cột là ba đỉnh của một tam giác đều trên mặt sàn nhà với cạnh dài 8 m. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với \(B \in Ox\), \(C \in Oy\), tia \(Oz\) cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow {AA'} \). Chọn gốc tọa độ \(O\) trùng với trung điểm của \(AC\) và mỗi đơn vị trên trục có độ dài 1m (xem hình vẽ).
(a) Tọa độ các điểm \(A'\left( {0; - 4;10} \right),B'\left( {4\sqrt 3 ;0;9} \right),C'\left( {0;4;8} \right)\).
(b) Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) nhận \(\overrightarrow k = \left( {0;\,1;\,1} \right)\)làm vectơ pháp tuyến.
(c) Mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\) nhận \(\overrightarrow n = \left( {0;1;4} \right)\)làm vectơ pháp tuyến.
(d) Biết độ dốc của mái nhà đạt mức tiêu chuẩn khoảng từ \(27^\circ \) đến \(35^\circ \) thì mái nhà trên có độ dốc ở mức tiêu chuẩn.
a) Đúng . \(A\left( {0; - 4;0} \right),B\left( {4\sqrt 3 ;0;0} \right),C\left( {0;4;0} \right)\) và \(A'\left( {0; - 4;10} \right),B'\left( {4\sqrt 3 ;0;9} \right),C'\left( {0;4;8} \right)\).
b) Sai . Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(\overrightarrow k = \left( {0;\,0;\,1} \right).\)
c) Đúng. \[\overrightarrow {A'B'} = \left( {4\sqrt 3 ;4; - 1} \right);\overrightarrow {A'C'} = \left( {0;8; - 2} \right)\], khi đó vectơ pháp tuyến của \(\left( {A'B'C'} \right)\) là:
\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\,\overrightarrow {A'C'} } \right] = \left( {0;\,8\sqrt 3 ;\,32\sqrt 3 } \right) = 8\sqrt 3 \left( {0;\,1;\,4} \right)\).
Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\) là: \(\overrightarrow n = \left( {0;1;4} \right)\).
d) Sai. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là: \(\overrightarrow k = \left( {0;\,0;\,1} \right)\).
Khi đó: \[\cos \left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right) = \frac{{\left| 4 \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {1^2}} }} = \frac{{4\sqrt {17} }}{{17}}\] nên \(\left( {\left( {ABC} \right),\,\left( {A'B'C'} \right)} \right) \approx 14^\circ \) nên mái nhà không ở mức tiêu chuẩn.