Một mái nhà hình tròn được đặt trên ba cây cột trụ AA′, BB′, CC′ vuông góc với mặt sàn nhà phẳng, có độ cao lần lượt là 10 m, 9 m, 8 m. Ba chân cột A, B, C là ba đỉnh của một tam giác đều trê

Dựa vào mô tả và hình vẽ, ta xác định tọa độ các điểm như sau (đơn vị: mét)
Gốc tọa độ \(O\left( {0;0;0} \right)\) là trung điểm của\(AC\).
Vì \(C \in Oy\) và \(AC = 8\)m nên \(C\left( {0;4;0} \right)\) và \(A\left( {0; - 4;0} \right)\)
Tam giác \(ABC\)đều cạnh \(8\) nên đường cao\(BO = \frac{{8\sqrt 3 }}{2} = 4\sqrt 3 \) mà \(B \in Ox\) nên\(B\left( {4\sqrt 3 ;0;0} \right)\).
Các đỉnh cột trụ có độ cao tương ứng là \[AA' = 10\], \[BB' = 9\],\[CC' = 8\].
Tọa độ các điểm trên mái là: \(A'\left( {0; - 4;10} \right)\); \(B'\left( {4\sqrt 3 ;0;9} \right)\); \(C'\left( {0;4;8} \right)\)
Ta có vectơ chỉ phương: \[A'C' = \left( {0;8; - 2} \right)\] và \[A'B' = \left( {4\sqrt 3 ;4; - 1} \right)\]
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là: \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left[ {A'B',A'C'} \right] = \left( {0; - 8\sqrt 3 ; - 32\sqrt 3 } \right) = - 8\sqrt 3 \left( {0;1;4} \right)\)
Phương trình mặt phẳng\(\left( P \right)\) là: \(\left( P \right):y + 4z - 36 = 0\)
Xét mệnh đề a)
Đường thẳng \(OH\) đi qua \(O\left( {0;0;0} \right)\)và vuông góc với \(\left( P \right)\)có phương trình tham số \(OH:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y = t}\\{z = 4t}\end{array}} \right.\)
Thay vào \(\left( P \right):t + 4.4t - 36 = 0 \Rightarrow t = \frac{{36}}{{17}}\)
Tọa độ điểm \(H\) là : \(H\left( {0;\frac{{36}}{{17}};\frac{{144}}{{17}}} \right)\) nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Giao điểm với trục \(Oz\)ứng với\[x = 0\],\(y = 0\) thay vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\), ta được:
\(0 + 4z - 36 = 0 \Rightarrow z = 9\) nên mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
Mặt sàn nhà là mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có vectơ pháp tuyến\(\vec k = \left( {0;0;1} \right)\)
Gọi \(\alpha \) là góc giữa mái nhà và mặt sàn: \(\cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_p}} .\overrightarrow k } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_p}} } \right|.\left| {\overrightarrow k } \right|}} = \frac{{\left| {0.0 + 1.0 + 4.1} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {4^2}} .1}} = \frac{4}{{\sqrt {17} }}\)
Suy ra \(\alpha \approx 14^\circ \notin \left[ {27^\circ ;35^\circ } \right]\)nên mệnh đề c) sai
Xét mệnh đề d)
Bán kính mái nhà là bán kính đường tròn ngoại tiếp\(\Delta A'B'C'\)
Độ dài các cạnh: \(A'C' = \sqrt {{{\left( {0 - 0} \right)}^2} + {{\left( {4 - \left( { - 4} \right)} \right)}^2} + {{\left( {8 - 10} \right)}^2}} = 2\sqrt {17} \)
\(A'B' = \sqrt {{{\left( {4\sqrt 3 - 0} \right)}^2} + {{\left( {0 - \left( { - 4} \right)} \right)}^2} + {{\left( {9 - 10} \right)}^2}} = \sqrt {65} \)
\(B'C' = \sqrt {{{\left( {0 - 4\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {4 - 0} \right)}^2} + {{\left( {8 - 9} \right)}^2}} = \sqrt {65} \)
Xét \(\Delta A'B'C'\)cân tại\(B'\) và gọi \(M\) là trung điểm\(A'C' \Rightarrow M\left( {0;0;9} \right)\)
Đường cao \(B'M = \sqrt {{{\left( {4\sqrt 3 - 0} \right)}^2} + {0^2} + {{\left( {9 - 9} \right)}^2}} = 4\sqrt 3 \).
Diện tích \({S_{\Delta A'B'C'}} = \frac{1}{2}.B'M.A'C' = \frac{1}{2}.4\sqrt 3 .2\sqrt {17} = 4\sqrt {51} \).
Bán kính \(R = \frac{{A'B'.B'C'.A'C'}}{{4S}} = \frac{{\sqrt {65} .\sqrt {65} .2\sqrt {17} }}{{4.4\sqrt {51} }} = \frac{{65}}{{8\sqrt 3 }} \approx 4,7\)m nên mệnh đề d) đúng