Một mái nhà được tạo bởi hai nửa lục giác đều ABCD.A'B'C'D' và hai tam giác bằng nhau ADD ′ , BCC ′ . Biết CDD'C ′ là hình chữ nhật và AB / / CD / / C ′D ′ , CD = C ′D ′ = 2 AB = 6 m ,

Đáp số: \[121\]

Gọi \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(DC,\,DA\). Kẻ \(NP \bot AD\) tại \(N,\,P \in DD'\) \[ \Rightarrow \left[ {D',\,\,AD,\,\,C} \right] = \widehat {MNP}\].

Từ giả thiết suy ra \(AM = AD = AD' = DM = 3\). Tam giác \(ADM\) đều nên \(MN = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\).

Xét \(\Delta ADD'\) có \[{\rm{cos}}\widehat {ADD'} = \frac{{D{A^2} + D{{D'}^2} - A{{D'}^2}}}{{2.DA.DD'}} = \frac{{{3^2} + {4^2} - {3^2}}}{{2.3.4}} = \frac{2}{3}\].

Xét \(\Delta DNP\) vuông tại \(N\) có

\[{\rm{cos}}\widehat {NDP} = \frac{{DN}}{{DP}} \Rightarrow DP = \frac{{DN}}{{{\rm{cos}}\widehat {NDP}}} = \frac{9}{4}\]\( \Rightarrow PN = \sqrt {D{P^2} - D{N^2}}  = \frac{{3\sqrt 5 }}{4}\);

Xét \(\Delta DMP\) vuông tại \(D\) có \(MP = \sqrt {D{M^2} + D{P^2}}  = \frac{{15}}{4}\).

Xét \(\Delta MNP\) có

\[{\rm{cos}}\widehat {MNP} = \frac{{N{M^2} + N{P^2} - P{M^2}}}{{2.NM.NP}} = \frac{{{{\left( {\frac{{3\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{3\sqrt 5 }}{4}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{15}}{4}} \right)}^2}}}{{2.\frac{{3\sqrt 3 }}{2}.\frac{{3\sqrt 5 }}{4}}} =  - \frac{{2\sqrt {15} }}{{15}} \Rightarrow \widehat {MNP} \approx 121^\circ \]

Vậy \[\left[ {D',\,\,AD,\,\,C} \right] \approx 121^\circ \].