Một lớp học có \(50\) học sinh, trong đó có \(30\) học sinh nam. Biết tỷ lệ học sinh biết

a) Đ b) Đ c) s d) Đúng

Gọi \(A\) là biến cố “học sinh được chọn là học sinh nam" thì \(\overline A \) là biến cố “học sinh được chọn là học sinh nữ";

\(B\) là biến cố: "Học sinh được chọn là học sinh biết bơi" thì \(\overline B \) là biến cố: "Học sinh được chọn là học sinh không biết bơi".

Theo giả thiết ta có:

\(P\left( A \right) = \frac{{30}}{{50}} = \frac{3}{5}\) và \(P\left( {\overline A } \right) = \frac{{50 - 30}}{{50}} = \frac{2}{5}\).

\(P\left( {B\mid A} \right) = 60\%  = \frac{3}{5}\) và \(P\left( {B\mid \overline A } \right) = 50\%  = \frac{1}{2}\).

a) Xác suất học sinh được chọn là nam bằng \(P\left( A \right) = \frac{3}{5}\).

b) Xác suất học sinh được chọn là học sinh biết bơi, biết học sinh này là nam bằng \(P\left( {B\mid A} \right) = \frac{3}{5}\).

c) Xác suất học sinh được chọn là học sinh biết bơi là

\(P\left( B \right) = P\left( {B\mid A} \right)P\left( A \right) + P\left( {B\mid \bar A} \right)P\left( {\bar A} \right) = \frac{3}{5}\, \cdot \,\frac{3}{5} + \frac{1}{2} \cdot \,\frac{2}{5} = \frac{{14}}{{25}}\);

Học sinh được chọn là học sinh biết bơi thì xác suất học sinh đó là học sinh nam bằng

\(P\left( {A\mid B} \right) = \frac{{P\left( {B\mid A} \right)P\left( A \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{3}{5}\, \cdot \,\frac{3}{5}}}{{\frac{{14}}{{25}}}} = \frac{9}{{14}}\).

d) Vì \(P\left( {B\mid A} \right) = \frac{3}{5}\) nên \[P\left( {\overline B \mid A} \right) = 1 - P\left( {B\mid A} \right) = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}\].

Mặt khác, \(P\left( B \right) = \frac{{14}}{{25}}\) nên \(P\left( {\overline B } \right) = \frac{{11}}{{25}}\).

Do đó, theo công thức Bayes, xác suất để học sinh được chọn là nam khi biết học sinh đó không biết bơi là

\[P\left( {A\mid \bar B} \right) = \frac{{P\left( {\bar B\mid A} \right)P\left( A \right)}}{{P\left( {\bar B} \right)}} = \frac{{\frac{2}{5}\, \cdot \,\frac{3}{5}}}{{\frac{{11}}{{25}}}} = \frac{6}{{11}}\].