Một loại kẹo có hình dáng là khối cầu với bán kính bằng 1 cm được đặt trong vỏ kẹo có hình dạng là hình chóp tứ giác đều, các mặt của vỏ kẹo (bao gồm mặt bên và mặt đáy) đều tiếp xúc với kẹo

Đáp án: 12

Gọi đỉnh của hình chóp là \(S\), tâm khối cầu là \(I\), hình chiếu của \(S\) trên mặt phẳng đáy là \(H\)

Gọi \(M\), \(N\) là trung điểm \(AB,CD\), kẻ \(IK\) vuông góc với \(SN\) thì \(IK\) là bán kính của khối cầu.

Ta có \(IK = 1\)

Do góc giữa mặt bên và mặt đáy hình chóp bằng \(60^\circ \) nên ta có \(\widehat {SNH} = 60^\circ \)

Ta có tam giác \(SHN\) đồng dạng với tam giác \(SKI\) nên ta có \(\widehat {SIK} = 60^\circ \).

Suy ra \(SK = 1.\tan 60^\circ  = \sqrt 3 \)(cm), \(SI = \sqrt {I{K^2} + S{K^2}}  = 2\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\)

Do đó \(SH = SI + IH = 2 + 1 = 3\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\)

Gọi cạnh \(MN\) có độ dài bằng \(x\) ta có \(x\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 3 \Rightarrow x = 2\sqrt 3 \) (cm) (Do tam giác \(SMN\) là tam giác đều).

Diện tích đáy \(ABCD\) bằng \({S_{ABCD}} = {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} = 12\).

Thể tích khối chóp cần tìm là \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SH.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.3.12 = 12\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).