Một kiến trúc sư thiết kế một hồ bơi vô cực có mặt trên của bể bơi nằm trong mặt phẳng Oxy. Một cạnh của hồ bơi dài 12 m nằm trên trục Ox; hai cạnh bên lần lượt nằm trên trục Oy và đường thẳn

Đáp án: 160.

Gọi mặt hồ bơi là một miền phẳng \(D\) trên hệ trục tọa độ\(Oxy\). Theo dữ kiện đề bài, miền \(D\) được giới hạn bởi các đường:

● Trục\(Ox\): \(y = 0\)

● Trục\(Oy\): \(x = 0\)

● Đường thẳng: \(x = 12\)

● Đường cong: \(y =  - \frac{1}{{18}}{x^2} + \frac{2}{3}x + 4\)

Do đó, với một vị trí có hoành độ \(x \in \left[ {0,12} \right]\), chiều rộng của hồ bơi chính là tung độ của đường cong \(y = f\left( x \right) =  - \frac{1}{{18}}{x^2} + \frac{2}{3}x + 4\).

Tại vị trí có hoành độ \(x\), độ sâu của hồ bơi chỉ phụ thuộc vào hoành độ và được cho bởi công thức: \(h\left( x \right) = \frac{1}{4}x + 1\).

Khi cắt hồ bơi bởi một mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\), ta được thiết diện là một hình chữ nhật có chiều rộng là \(f\left( x \right)\) và chiều dài  là \(h\left( x \right)\). Diện tích thiết diện này là: \(S\left( x \right) = f\left( x \right) \cdot h\left( x \right)\)

Do đó ta có

\(S\left( x \right) = \left( { - \frac{1}{{18}}{x^2} + \frac{2}{3}x + 4} \right)\left( {\frac{1}{4}x + 1} \right)\)\( =  - \frac{1}{{72}}{x^3} - \frac{1}{{18}}{x^2} + \frac{1}{6}{x^2} + \frac{2}{3}x + x + 4\)

\( =  - \frac{1}{{72}}{x^3} + \left( {\frac{1}{6} - \frac{1}{{18}}} \right){x^2} + \left( {\frac{2}{3} + 1} \right)x + 4\)

\( =  - \frac{1}{{72}}{x^3} + \frac{1}{9}{x^2} + \frac{5}{3}x + 4\)

Thể tích khối nước trong hồ chính là tích phân của diện tích thiết diện \(S\left( x \right)\) trên đoạn từ \(x = 0\) đến \(x = 12\):

\(V = \int_0^{12} S \left( x \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x = \int_0^{12} {\left( { - \frac{1}{{72}}{x^3} + \frac{1}{9}{x^2} + \frac{5}{3}x + 4} \right)} {\mkern 1mu} {\rm{d}}x = 160\).

Kết luận: Thể tích nước tối đa mà hồ bơi có thể chứa là \(160\,\,{{\rm{m}}^3}\).