Một kiến trúc sư muốn xây dựng một toà nhà biểu tượng độc lạ cho thành phố
20/22
Một kiến trúc sư muốn xây dựng một toà nhà biểu tượng độc lạ cho thành phố. Trên bản thiết kế toà nhà có hình dạng là một khối lăng trụ tam giác đều, có cạnh bên bằng cạnh đáy và dài \[306\] mét (tham khảo hình vẽ). Kiến trúc sư muốn xây dựng một cây cầu \[MN\] bắc xuyên toà nhà (điểm đầu thuộc canh \[A'C\] , điểm cuối thuộc cạnh \[BC'\]) và cây cầu này sẽ được dát vàng với đơn giá \[5\] tỷ đồng trên \[1\] mét dài. Vì vậy để đáp ứng bài toán kinh tế, kiến trúc sư phải chọn vị trí cây cầu sao cho \[MN\] ngắn nhất. Khi đó giá cây cầu này hết bao nhiêu tỷ đồng? (làm tròn đến hàng đơn vị)
Với hệ trục toạ độ Oxyz như hình vẽ, ta có \[O\left( {0;0;0} \right),B\left( {153;0;0} \right),C'\left( { - 153;0;306} \right),A'\left( {0; - 153\sqrt 3 ;306} \right),C\left( { - 153;0;0} \right)\]
Để MN ngắn nhất thì \[MN\] là khoảng cách giữa hai đường thẳng \[A'C\] và \[BC'\]
\[MN = d\left( {A'C,BC'} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {A'C} ,\overrightarrow {BC'} } \right].\overrightarrow {BC} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {A'C} ,\overrightarrow {BC'} } \right]} \right|}} = \frac{{306\sqrt 5 }}{5}\] (m)
Khi đó, giá cây cầu là \[\frac{{306\sqrt 5 }}{5}.5 = 306\sqrt 5 \approx 684\] tỷ đồng