Một kiến trúc sư muốn thiết kế một khung cửa sổ hình chữ nhật lắp vào một ô tròn trên tường có bán kính 4 mét.

Đáp án đúng là "32"

Phương pháp giải

- Bài toán yêu cầu tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp hình tròn có bán kính bằng 4.

- Đặt trục tọa độ với tâm đường tròn trùng với gốc tọa độ. Lập phương trình đường tròn và biểu diễn hàm diện tích của hình chữ nhật.

- Tìm giá trị lớn nhất của hàm số.

Lời giải

Đặt trục tọa độ sao cho tâm đường tròn (tâm hình chữ nhật) trùng gốc tọa độ và điểm \(\left( {x,y} \right)\) như hình:

​

Ta có phương trình đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} = 16\) hay \(y =  \pm \sqrt {16 - {x^2}} \).

Khi đó chiều dài của sổ hình chữ nhật là 2x, chiều rộng là 2y, với \(x > 0,y > 0\) nằm trên đường tròn \(\left( C \right)\)

Diện tích cửa sổ hình chữ nhật là \(S = 2x.2y = 4xy = 4x\sqrt {16 - {x^2}} \)

Xét hàm số \(S\left( x \right) = 4x\sqrt {16 - {x^2}} \) với \(0 \le x \le 4\)

Có \(S'\left( x \right) = 4\sqrt {16 - {x^2}}  - \frac{{4{x^2}}}{{\sqrt {16 - {x^2}} }} = \frac{{ - 8{x^2} + 64}}{{\sqrt {16 - {x^2}} }}\).

Xét hàm số \(S\left( x \right) = 4x\sqrt {16 - {x^2}} \) với \(0 \le x \le 4\)

Có \(S'\left( x \right) = 4\sqrt {16 - {x^2}}  - \frac{{4{x^2}}}{{\sqrt {16 - {x^2}} }} = \frac{{ - 8{x^2} + 64}}{{\sqrt {16 - {x^2}} }}\).

\(S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow  - 8{x^2} + 64 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2\sqrt 2 }\\{x =  - 2\sqrt 2 {\rm{\;(loai)\;}}}\end{array}} \right.\)

Ta có \(S\left( 0 \right) = 0;S\left( 4 \right) = 4.4.\sqrt {16 - {4^2}}  = 0\); 

          \(S\left( {2\sqrt 2 } \right) = 4.2\sqrt 2 .\sqrt {16 - {{(2\sqrt 2 )}^2}}  = 32\).

Vậy cửa sổ hình chữ nhật lớn nhất nội tiếp đường tròn có bán kính bằng 4 sẽ có hình vuông với diện tích 32, chiều dài và chiều rộng bằng \(2\sqrt 2 \).