Một khung hình trang trí có dạng một đa giác đều 12 cạnh A1A2...A12 (xem hình dưới) được gắn cố định trên một trần nhà. Bạn Dũng có 12 bóng đèn gồm bốn bóng màu đỏ và tám bóng màu xanh, có cô
17/22
PHẦN III: Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Một khung hình trang trí có dạng một đa giác đều 12 cạnh \({A_1}{A_2}...{A_{12}}\) (xem hình dưới) được gắn cố định trên một trần nhà. Bạn Dũng có 12 bóng đèn gồm bốn bóng màu đỏ và tám bóng màu xanh, có công suất đôi một khác nhau. Bạn Dũng lắp ngẫu nhiên 12 bóng đèn trên vào 12 đỉnh \({A_1},{A_2}, \ldots ,{A_{12}}\) sao cho mỗi đỉnh có đúng một bóng đèn. Gọi \(P\) là xác suất để mỗi hình vuông (có bốn đỉnh là các đỉnh của đa giác đã cho) đều có ít nhất một bóng đèn màu đỏ. Giá trị của \(3190P\) bằng bao nhiêu?
Đa giác đều 12 cạnh có các hình vuông tạo bởi các đỉnh cách nhau 3 đỉnh.
Có 3 hình vuông: \({A_1}{A_4}{A_7}{A_{10}}\),
\({A_2}{A_5}{A_8}{A_{11}}\),
\({A_3}{A_6}{A_9}{A_{12}}\).
Ta chỉ cần xét vị trí của 4 bóng đỏ trong 12 vị trí.
Tổng số cách chọn 4 vị trí đặt bóng đỏ là: \(C_{12}^4 = 495\).
Gọi 3 nhóm đỉnh của 3 hình vuông là 3 nhóm, mỗi nhóm có 4 đỉnh.
Cần mỗi nhóm có ít nhất một bóng đỏ.
Số cách không thỏa mãn: có ít nhất một hình vuông không có bóng đỏ.
Nếu một hình vuông không có bóng đỏ, ta chọn 4 bóng đỏ trong 8 đỉnh còn lại: \(C_8^4 = 70\).
Có 3 hình vuông nên có \(3 \cdot 70 = 210\) cách.
Nhưng nếu hai hình vuông cùng không có bóng đỏ, thì 4 bóng đỏ phải nằm hết trong hình vuông còn lại: \(C_4^4 = 1\).
Có \(C_3^2 = 3\) trường hợp như vậy.
Vậy số cách thỏa mãn là: \(495 - 210 + 3 = 288\).
Do đó: \(P = \frac{{288}}{{495}} = \frac{{32}}{{55}}\).
Suy ra: \(3190P = 3190 \cdot \frac{{32}}{{55}} = 1856\).
Đáp án: 1856.