Một khu nhà kính sinh thái nông nghiệp công nghệ cao được thiết kế với mặt bằng đáy là một hình thang ABCD vuông tại A và B với AD ∥ BC. Xét một thiết diện bất kì của nhà kính vuông góc với t

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ, với \(A \equiv O\left( {0;0;0} \right),B\left( {30;0;0} \right),D\left( {0;12;0} \right)\)và \[C\left( {30;6;0} \right)\]
Đường thẳng \(CD\) nằm trong mặt phẳng \(Oxy\)đi qua \(D\left( {0;12} \right)\)và \(C\left( {30;6} \right)\) có phương trình:
\(w\left( x \right) = \frac{{6 - 12}}{{30 - 0}}\left( {x - 0} \right) + 12 \Rightarrow w\left( x \right) = - \frac{1}{5}x + 12\)
Xét mặt cắt tại\(K\)có bề trộng \(KE = w\)
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\)sao cho \(K \equiv O\left( {0;0} \right)\), tia \(KE \equiv Ox\), tia \(KF \equiv Oy\)
Tọa độ các điểm \[K\left( {0;0} \right),\,E\left( {w;0} \right),F\left( {0;w} \right)\] nên phương trình Parabol có dạng \(y = a{x^2} + bx + c\)
Đi qua \(F\left( {0;w} \right) \Rightarrow c = w\) và \(E\left( {w;0} \right) \Rightarrow a{w^2} + bw + w = 0 \Rightarrow b = - aw - 1\)
Tọa độ đỉnh \(S\left( {h;k} \right)\) với \(h = - \frac{b}{{2a}} = \frac{{aw + 1}}{{2a}}\); tung độ đỉnh \[k = y\left( h \right) = - \frac{{{{\left( {aw + 1} \right)}^2}}}{{4a}} + w\]
Hình chiếu của \(S\) lên \(KE\) là \(H\left( {h;0} \right)\), ta có: \[EH = w - h = \frac{{aw - 1}}{{2a}}\]
Theo giả thiết: \(SH = 3EH \Rightarrow - \frac{{{{\left( {aw + 1} \right)}^2}}}{{4a}} + w = 3\left( {\frac{{aw - 1}}{{2a}}} \right)\)
Giải phương trình ta thu được \[aw = - 5 \Rightarrow a = - \frac{5}{w}\left( {a < 0} \right)\] và \(b = 4\)\( \Rightarrow \left( P \right):y = - \frac{5}{w}{x^2} + 4x + w\)
Thiết diện \(S\left( w \right) = \int\limits_0^w {\left( { - \frac{5}{w}{x^2} + 4x + w} \right){\rm{d}}x = \frac{4}{3}} {w^2}\)
Vậy thể tích không gian bên trong khu nhà kính là: \(V = \int\limits_0^{30} {\frac{4}{3}} {\left( { - \frac{1}{5}x + 12} \right)^2}{\rm{d}}x = 3360\)(m³)