Một khu đất có dạng nửa hình tròn với bán kính là 14 m . Người ta muốn xây dựng một khu vui chơi hình chữ nhật ở bên trong nửa đường tròn đó như hình vẽ,

Hướng dẫn giải

Gọi các điểm như hình vẽ dưới đây:

Gọi \[x\] là độ dài cạnh \(AC\) hình chữ nhật không nằm dọc theo đường kính đường tròn \[\left( {0 < x < 14} \right)\].

Khi đó, ta tính được độ dài cạnh của hình chữ nhật nằm dọc trên đường tròn là:

\[AB = 2AO = 2\sqrt {O{C^2} - A{C^2}} = 2\sqrt {{{14}^2} - {x^2}} {\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\].

Diện tích hình chữ nhật là \[S = 2x\sqrt {{{14}^2} - {x^2}} {\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\].

Ta có: \[{S^2} = 4{x^2}\left( {196 - {x^2}} \right) = - 4{x^4} + 2 \cdot 2{x^2} \cdot 196 - {196^2} + {196^2} = - {\left( {2{x^2} - 196} \right)^2} + {196^2}\] .

Nhận thấy \[ - {\left( {2{x^2} - 196} \right)^2} \le 0\], do đó \[ - {\left( {2{x^2} - 196} \right)^2} + {196^2} \le {196^2}\].

Suy ra \[{S^2} \le {196^2}\], nên \[S \le \sqrt {{{196}^2}} \] hay \[S \le 196{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\].

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \[ - {\left( {2{x^2} - 196} \right)^2} = 0\], hay \[2{x^2} - 196 = 0\], tức là \[x = 7\sqrt 2 {\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\].

Vậy diện tích lớn nhất của khu vui chơi đó là \[196{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\].