Một khu bảo tồn thiên nhiên có hai trạm kiểm lâm và một trạm quan sát. Trong hệ toạ độ O x y z (đơn vị độ dài trên mỗi trục là kilômét), hai trạm kiểm lâm và trạm quan sát có vị trí lần lượ

39/54

Một khu bảo tồn thiên nhiên có hai trạm kiểm lâm và một trạm quan sát. Trong hệ toạ độ \(Oxyz\) (đơn vị độ dài trên mỗi trục là kilômét), hai trạm kiểm lâm và trạm quan sát có vị trí lần lượt là \(A\left( {10;5;0} \right)\), \(B\left( {70;85;0} \right)\) và \(I\left( {20;65;0,2} \right)\). Một thiết bị bay không người lái (drone) được thiết kế bay trên đường thẳng đi qua hai điểm \(C\left( {10;5;0,1} \right)\) và \(D\left( {70;85;0,1} \right)\) để truyền tín hiệu và dữ liệu về trạm quan sát \(I\).

(a)Khi tín hiệu gửi về trạm quan sát nhanh nhất thì vị trí của drone là \[K\left( {\frac{{212}}{5};\frac{{241}}{5};0,1} \right)\].

(b)Cùng một thời điểm, một xe máy xuất phát từ \(A\) đi đến \(B\) với vận tốc \(40\)km/h và một ô tô xuất phát từ \(B\) đi đến \(A\) với vận tốc \(60\)km/h, sau đó gặp nhau tại \(M\). Drone phải di chuyển trước đến vị trí \(H\) có hình chiếu trên \[AB\] là \(M\)để truyền dữ liệu về trạm quan sát \(I\). Khi đó vị trí của drone là \[\left( {34;37;0,1} \right)\].

(c)Trạm quan sát \(I\) nhìn đoạn thẳng \(AB\) dưới một góc nhỏ hơn \(65^\circ \).

(d)Phương trình đường thẳng mô tả cho tuyến đường bay của drone là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10 + 3t}\\{y = 5 + 4t}\\{z = 0,1}\end{array}} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a) Đúng. \(\overrightarrow {CD} = \left( {60;80;0} \right) = 20.\left( {3;4;0} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(CD:\left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 3t\\y = 5 + 4t\\z = 0,1\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).

Gọi \[K\] là hình chiếu của \(I\) lên đường thẳng \(CD\).

Ta có: \[K\left( {10 + 3t;5 + 4t;0,1} \right) \in CD\]

\(\overrightarrow {IK} = \left( {3t - 10;4t - 60; - 0,1} \right)\)

\(\overrightarrow {CD} \overrightarrow {.IK} = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{54}}{5}\) nên \[K\left( {\frac{{212}}{5};\frac{{241}}{5};0,1} \right)\].

Vậy khi tín hiệu gửi về trạm quan sát nhanh nhất thì \(K\) là hình chiếu của \(I\) lên \(CD\) nên \[K\left( {\frac{{212}}{5};\frac{{241}}{5};0,1} \right)\].

b) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {60;80;0} \right)\)\( \Rightarrow AB = 100\left( {{\rm{km}}} \right)\).

Gọi \(h\) (giờ) là thời gian hai xe xuất phát đến lúc gặp nhau.

Ta có \(40h + 60h = 100\)\( \Leftrightarrow h = 1\) (giờ).

Quảng đường \(AM = 40\,\left( {{\rm{km}}} \right)\) nên \(\overrightarrow {AM} = \frac{2}{5}\overrightarrow {AB} \) suy ra \(M\left( {34;37;0} \right)\).

\[H\left( {10 + 3t;5 + 4t;0,1} \right) \in CD\] và \(\overrightarrow {MH} = \left( {3t - 24;4t - 32;0,1} \right)\).

Do \(M\) là hình chiếu của \(H\) trên \(AB\) nên \(\overrightarrow {MH} .\overrightarrow {AB} = 0 \Leftrightarrow t = 8\).

Vậy \[H\left( {34;37;0,1} \right)\].

c) Sai. Ta có \(AB = 100\), \(IA = \frac{{\sqrt {92501} }}{5}\), \(IB = \frac{{\sqrt {72501} }}{5}\).

Xét tam giác \(IAB\) có: \(\cos \widehat {AIB} = \frac{{I{A^2} + I{B^2} - A{B^2}}}{{2.IA.IB}} \approx - 0,51896\) nên \(\widehat {AIB} \approx 121^\circ \).

d) Đúng. \(\overrightarrow {CD} = \left( {60;80;0} \right) = 20\left( {3;4;0} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(CD:\left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 3t\\y = 5 + 4t\\z = 0,1\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).

Nên phương trình đường thẳng mô tả cho tuyến đường bay của drone là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10 + 3t}\\{y = 5 + 4t}\\{z = 0,1}\end{array}} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).