Một khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (H)
20/22
Một khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) (phần tô đậm trong hình vẽ) quanh trục \(AB\).
Miền \(\left( H \right)\) được giới hạn bởi đường tròn đường kính \(AB\) và cung tròn tâm \(A\). Biết \(AB = 8{\rm{ cm}}\) và điểm \(K\) trong hình vẽ thỏa mãn \(AK = 3{\rm{ cm}}\). Thể tích của khối tròn xoay đó bằng bao nhiêu centimét khối (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Ta có \(A\left( {0\,;0} \right)\), \(B\left( {8\,;0} \right)\), \(K\left( {3\,;0} \right)\).
Tam giác \(AMB\) vuông tại \(M\), \(MK\) là đường cao nên \(M{K^2} = AK \cdot KB = 3 \cdot 5 = 15\).
Tam giác \(AMK\) vuông tại \(K\) nên \(AM = \sqrt {M{K^2} + A{K^2}} = \sqrt {15 + 9} = 2\sqrt 6 \).
Suy ra \(AD = 2\sqrt 6 \Rightarrow D\left( {2\sqrt 6 \,;0} \right)\).
Đường tròn đường kính \(AB\) có phương trình \({\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} = 16\)\( \Rightarrow y = \sqrt {8x - {x^2}} \).
Đường tròn tâm \(A\) bán kính \(AM\) có phương trình \({x^2} + {y^2} = 24\)\( \Rightarrow {y^2} = 24 - {x^2}\).
Thể tích cần tìm là: \(V = \pi \int\limits_3^8 {\left( {8x - {x^2}} \right){\rm{d}}x} - \int\limits_3^{2\sqrt 6 } {\left( {24 - {x^2}} \right){\rm{d}}x} \approx 135{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}{\rm{)}}\).
Đáp án: 135.