Một hợp tác xã nông nghiệp dự định sử dụng một khu nhà màng có diện tích tối đa là để trồng hai loại nông sản giá trị cao: Dưa lưới và Cà chua bi. Hợp tác xã đang cân nhắc việc phân bổ diện

21/22

Một hợp tác xã nông nghiệp dự định sử dụng một khu nhà màng có diện tích tối đa là để trồng hai loại nông sản giá trị cao: Dưa lưới và Cà chua bi. Hợp tác xã đang cân nhắc việc phân bổ diện tích trồng sao cho thu được lợi nhuận cao nhất, dựa trên các điều kiện thực tế sau:

+ Về nhân công: Để chăm sóc 100 m² dưa lưới trong một vụ cần 20 ngày công; đối với cà chua bi là 30 ngày công. Hợp tác xã chỉ có thể huy động tối đa 180 ngày công cho vụ mùa này.

+ Về vốn đầu tư (giống, vật tư): Chi phí đầu tư cho 100 m² dưa lưới là 30 triệu đồng; cho cà chua bi là 20 triệu đồng. Tổng số vốn hợp tác xã có thể giải ngân tối đa là 210 triệu đồng.

+ Về lợi nhuận dự kiến: Sau khi thu hoạch, mỗi 100 m² dưa lưới mang lại mức lợi nhuận 50 triệu đồng, và mỗi 100 m² cà chua bi mang lại 40 triệu đồng.

Ban chủ nhiệm hợp tác xã cần quyết định diện tích trồng mỗi loại nông sản để tổng lợi nhuận thu được là lớn nhất, lợi nhuận lớn nhất đó là bao nhiêu triệu đồng?

Nhập câu trả lời ở đây

Giải thích

Đáp án: \(360\).

Gọi \(x,y\) (đơn vị: \(100{m^2}\)) lần lượt là diện tích trồng Dưa lưới và Cà chua bi.

Điều kiện: \(x,y \ge 0;x + y \le 7,5\).

Số ngày công chăm sóc: \(20x + 30y \le 180\).

Chi phí đầu tư: \(30x + 20y \le 210\) (triệu đồng).

Lợi nhuận dự kiến thu được là \(T\left( {x;y} \right) = 50x + 40y\) (triệu đồng)

Ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}x,y \ge 0\\x + y \le 7,5\\20x + 30y \le 180\\30x + 20y \le 210\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x,y \ge 0\\x + y \le 7,5\\2x + 3y \le 18\\3x + 2y \le 21\end{array} \right.\quad \left( * \right)\).

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left( * \right)\)

Miền nghiệm của hệ \(\left( * \right)\) là miền đa giác \(OABCD\) (phần tô đậm trong hình vẽ, kể cả các cạnh).

Toạ độ điểm \(A:\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\2x + 3y = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 6\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {0;6} \right)\)

Toạ độ điểm \(B:\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 18\\x + y = 7,5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{9}{2}\\y = 3\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {\frac{9}{2};3} \right)\)

Toạ độ điểm \(C:\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 21\\x + y = 7,5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = \frac{3}{2}\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {6;\frac{3}{2}} \right)\)

Toạ độ điểm \(D:\left\{ \begin{array}{l}y = 0\\3x + 2y = 21\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 7\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {7;0} \right)\)

Ta có

\(T\left( O \right) = 0\)

\(T\left( A \right) = 50.0 + 40.6 = 240\)

\(T\left( B \right) = 50.\frac{9}{2} + 40.3 = 345\)

\(T\left( C \right) = 50.6 + 40.\frac{3}{2} = 360\)

\(T\left( D \right) = 50.7 + 40.0 = 350\).

Vậy lợi nhuận lớn nhất là \(360\) triệu đồng.