Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo mẫu. Hộp có đáy là một hình vuông cạnh x(cm), chiều cao h(cm) và có thể tích là 500 cm^3.Tìm x sao cho

Ta có thể tích của khối hộp là: \(V(x)={x}^{2}h=500\left. {cm}^{3} \right.⇒h=\frac{500}{{x}^{2}},x>0\).

Để chiếc hộp làm ra ít tốn bìa các tông nhất khi và chỉ khi diện tích toàn phần của hộp là nhỏ nhất.

Diện tích của mảnh các tông dùng làm hộp là \(S(x)={x}^{2}+4hx={x}^{2}+\frac{2000}{x},x>0\).

Bài toán quy về tìm \(x∈(0;+∞)\) sao cho tại đó \(S(x)\) đạt GTNN.

Ta có \({S}^{'}(x)=2x-\frac{2000}{{x}^{2}}=\frac{2\left. ({x}^{3}-1000 )\right.}{{x}^{2}}\).

\({S}^{'}(x)=0⇔x=10\).

Suy ra bảng biến thiên sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \(S(x)\) đạt GTNN tại \(x=10\). Vậy muốn tốn ít nguyên liệu nhất ta lấy độ dài cạnh đáy của hình hộp là \(x=10cm\).

Đáp án đúng là C

Mở rộng:

\(V={x}^{2}.h\) cố định

\({S}_{tp}={x}^{2}+ 4xh\). Tìm \(S'(x)=0\)