Một hộp có chứa 5 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh và n viên bi vàng (các viên bi kích thước như nhau, n là số nguyên dương).

a) Đúng.

Số cách lấy 3 viên bi có đủ 3 màu là:\(C_5^1 \cdot C_3^1 \cdot C_n^1 = 5.3.n = 15n\).

Số cách lấy ba viên bi bất kì từ hộp là \(C_{8 + n}^3\).

Vì xác suất để trong ba viên bi lấy được có đủ 3 màu là \(\frac{{45}}{{182}}\) nên:

\(\frac{{15n}}{{C_{8 + n}^3}} = \frac{{45}}{{182}} \Leftrightarrow n = 6\).

b) Đúng.

Như vậy, có 5 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh và 6 viên bi vàng.

Số cách lấy 3 bi bất kì là:\(C_{14}^3\).

Suy ra \(n(\Omega ) = C_{14}^3\)

Gọi biến cố \(A\): “3 bi lấy ra chỉ có 1 màu”.

\(n(A) = C_5^3 + C_3^3 + C_6^3\).

Xác suất của biến cố \(A\) là:

\(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{31}}{{364}}\).

c) Đúng.

Gọi biến cố \(B\): “3 bi lấy ra có nhiều nhất 2 viên bi đỏ”.

- Trường hợp 1: 3 bi lấy ra không có bi đỏ, khi đó số cách lấy là \(C_9^3\).

- Trường hợp 2: 3 bi lấy ra có 1 bi đỏ, khi đó số cách lấy là \(C_5^1 \cdot C_9^2\).

- Trường hợp 3: 3 bi lấy ra có 2 bi đỏ, khi đó số cách lấy là \(C_5^2 \cdot C_9^1\).

Suy ra \(n(B) = C_9^3 + C_5^1 \cdot C_9^2 + C_5^2 \cdot C_9^1\).

Vậy xác suất để trong 3 viên bi lấy được có nhiều nhất hai viên bi đỏ là: \(P(B) = \frac{{177}}{{182}}\).

d) Đúng.

Số cách lấy 3 viên bi có đủ 3 màu là:\(C_5^1 \cdot C_3^1 \cdot C_n^1\).