Một hộp có 24 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1,2 , ; 24 hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau
4/31
Một hộp có 24 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1,2 , \(3, \ldots ,24\); hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên 1 chiếc thẻ trong hộp. Xét biến cố \(A\) : "Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 3 " và biến cố \(B\) : "Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 4 ".
a) Viết các tập con của không gian mẫu tương ứng với các biến cố \(A,B,A \cap B,A \cap \bar B\) (Hình 2).
b) So sánh: \(n(A){\rm{ và }}n(A \cap B) + n(A \cap \bar B){\rm{. }}\)
Từ đó, hãy chứng tỏ rằng: \({\rm{P}}(A) = {\rm{P}}(A \cap B) + {\rm{P}}(A \cap \bar B).\)
c) So sánh: \({\rm{P}}(A \cap B)\) và \({\rm{P}}(B) \cdot {\rm{P}}(A\mid B)\); \({\rm{P}}(A \cap \bar B){\rm{ và P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}(A\mid \bar B){\rm{. }}\)
Từ đó, hãy chứng tỏ rằng: \({\rm{P}}(A) = {\rm{P}}(B) \cdot {\rm{P}}(A\mid B) + {\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}(A\mid \bar B){\rm{. }}\)
\({\rm{ a) }}\Omega = \{ 1;2;3; \ldots ;24\} .\)
\(A = \{ 3;6;9;12;15;18;21;24\} .\)
\(B = \{ 4;8;12;16;20;24\} .\)
\(A \cap B = \{ 12;24\} \).
\(\bar B = \{ 1;2;3;5;6;7;9;10;11;13;14;15;17;18;19;21;22;23\} {\rm{. }}\)
\(A \cap \bar B = \{ 3;6;9;15;18;21\} \).
b) Từ câu a), suy ra \(n(A) = 8,n(A \cap B) = 2,n(A \cap \bar B) = 6\).
Do \(8 = 2 + 6\) nên \(n(A) = n(A \cap B) + n(A \cap \bar B)\).
Khi đó, \({\rm{P}}({\rm{A}}) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{n(A \cap B) + n(A \cap B)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{n(A \cap B)}}{{n(\Omega )}} + \frac{{n(A \cap B)}}{{n(\Omega )}}\).
Mà \({\rm{P}}({\rm{A}} \cap {\rm{B}}) = \frac{{n(A \cap B)}}{{n(\Omega )}};{\rm{P}}(A \cap \bar B) = \frac{{n(A \cap \bar B)}}{{n(\Omega )}}\).
Vậy \({\rm{P}}({\rm{A}}) = {\rm{P}}({\rm{A}} \cap {\rm{B}}) + {\rm{P}}(A \cap \bar B)\).
c) Ta có \({\rm{P}}({\rm{B}}) \cdot {\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = {\rm{P}}({\rm{B}}) \cdot \frac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}} = {\rm{P}}({\rm{A}} \cap {\rm{B}})\).
\({\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}({\rm{A}}\mid \bar B) = {\rm{P}}(\bar B) \cdot \frac{{P(A \cap \bar B)}}{{P(\bar B)}} = {\rm{P}}(A \cap \bar B).\)
Vì hai biến cố \({\rm{A}} \cap {\rm{B}}\) và \(A \cap \bar B\) là hai biến cố xung khắc và \(({\rm{A}} \cap {\rm{B}}) \cup (A \cap \bar B)\) = A nên theo công thức xác suất ta có: \({\rm{P}}({\rm{A}}) = {\rm{P}}({\rm{A}} \cap {\rm{B}}) + {\rm{P}}(A \cap \bar B) = {\rm{P}}({\rm{B}}) \cdot {\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) + {\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}({\rm{A}}\mid \bar B).\)