Một hòn đảo nằm trong một vịnh biển. Biết rằng đường cong tạo nên hòn đảo được mô hình hóa vào hệ trục tọa độ Oxy là một phần của đồ thị hàm số bậc ba f(x). Đơn vị trên hệ trục là 100 m. Vị

23/235

Một hòn đảo nằm trong một vịnh biển. Biết rằng đường cong tạo nên hòn đảo được mô hình hóa vào hệ trục tọa độ Oxy là một phần của đồ thị hàm số bậc ba \(f(x)\). Đơn vị trên hệ trục là 100 m. Vị trí điểm cực đại là \((2;5)\), vị trí điểm cực tiểu là \((0;1)\). Mặt đường chạy trên một đường thẳng có phương trình \(y = 36 - 9x\). Người ta muốn làm một cây cầu có dạng là một đoạn thẳng nối từ hòn đảo ra mặt đường. Độ dài ngắn nhất của cây cầu là bao nhiêu mét? (làm tròn đến hàng phần mười).

88,3

89,7

90,2

92,4

Giải thích

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải.

Viết phương trình hàm bậc ba.

Tính khoảng cách từ điểm thuộc đồ thị hàm số đến đường thẳng.

Lời giải chi tiết.

Đồ thị của hàm số bậc ba \(y = f(x)\) có điểm cực đại là \((2;5)\) và vị trí điểm cực tiểu là \((0;1)\).

Suy ra hàm số. \(f(x) = - {x^3} + 3{x^2} + 1\).

Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số \(y = f(x)\).

Ta có \(M(a; - {a^3} + 3{a^2} + 1)\) với \(a > 0\).

Khi đó độ dài của cây cầu nối từ hòn đảo ra mặt đường là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng \(y = 36 - 9x\).

Do đó để độ dài của cây cầu là ngắn nhất thì khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng \(y = 36 - 9x\) là ngắn nhất.

Độ dài cây cầu là khoảng cách từ M đến đường thẳng \(y = 36 - 9x\) (hay \(9x + y - 36 = 0\)).

\(d(a) = \frac{{|9a - {a^3} + 3{a^2} + 1 - 36|}}{{\sqrt {{9^2} + {1^2}} }} \cdot 100 = \frac{{| - {a^3} + 3{a^2} + 9a - 35|}}{{\sqrt {82} }} \cdot 100\).

Đặt \(E(a) = - {a^3} + 3{a^2} + 9a - 35\).

Khi đó \(E'(a) = - 3{a^2} + 6a + 9 = - 3(a - 3)(a + 1)\). Xét \(a > 0\), \(E(a)\) đạt giá trị lớn nhất tại \(a = 3\). Do đó \(|E(a)|\) nhỏ nhất tại \(a = 3\).

\(E(3) = - 27 + 27 + 27 - 35 = - 8\).

Suy ra \({d_{min}} = \frac{8}{{\sqrt {82} }} \cdot 100 \approx 88,3\) (m).