Một học sinh viết lên bảng một dãy gồm \(2023\) số nguyên dương sao cho trong

   Gọi \({a_m}\;(m = \overline {1,2023} )\) là các số hạng của dãy

   Các giá trị phân biệt có thể nhận của \({a_i}\) là \({x_i}(i = \overline {1,10} )\) với \({x_i} \in {\mathbb{Z}^ + }\)và \({x_1} < {x_2} <  \ldots  < {x_{10}}\).

   Gọi \({S_j} = {a_1} \cdot {a_2} \cdots {a_j}\;(j = \overline {1,2023} )\) là tích của \(j\) số hạng đầu tiên của dãy.

   Khi đó \({S_j} = x_1^{{n_{1j}}} \cdot x_2^{{n_{2j}}} \cdots  \cdot x_{10}^{{n_{10j}}}\) với \({n_{1j}};{n_{2j}}; \ldots ;{n_{10j}}\) lần lượt là số lần xuất hiện của các giá trị \({x_j}\)

   trong \(j\) số hạng đầu tiên của dãy đã cho.

   Xét \(2023\)bộ \(\left( {{n_{1j}};{n_{2j}}; \ldots ;{n_{10j}}} \right)(j = \overline {1,2023} )\) theo module \(2\), có tất cả \({2^{10}} = 1024\) trường hợp có dạng như sau

\((0;0; \ldots ;0),(0; \ldots ;0;1),(0; \ldots ;1;0),(1; \ldots ;1;1)\)

   Do đó tồn tại hai chỉ số \(p,q\) (với \(1 \le p < q < 2023\)) thoả

\(\left( {{n_{1p}};{n_{2p}}; \ldots ;{n_{10p}}} \right) \equiv \left( {{n_{1q}};{n_{2q}}; \ldots ;{n_{10q}}} \right)\,\,\,\,(\,\bmod \,2).\)

 Do đó:

\(\begin{array}{l}{n_{1q}} - {n_{1p}} = 2{b_1}\\{n_{2q}} - {n_{2p}} = 2{b_2}\\ \cdots \\{n_{10q}} - {n_{10p}} = 2{b_{10}}\end{array}\)

   Suy ra \(\frac{{{S_q}}}{{{S_p}}} = {a_{p + 1}} \cdot {a_{p + 2}} \cdots {a_q} = {\left( {x_1^{{b_1}} \cdot x_2^{{b_2}} \cdots x_{10}^{{b_{10}}}} \right)^2}\). Điều phải chứng minh.