Một hồ nước nhân tạo được xây dựng trong một công viên giải trí. Trong mô hình minh hoạ dưới đây nó được giới hạn bởi các trục tọa độ và đồ thị của hà

13/22

Một hồ nước nhân tạo được xây dựng trong một công viên giải trí. Trong mô hình minh hoạ dưới đây nó được giới hạn bởi các trục tọa độ và đồ thị của hàm số $y = f (x) = \frac{1}{10} (- x^{3} + 9 x^{2} - 15 x + 56)$ . Đơn vị đo độ dài trên mỗi trục tọa độ là $100 m$ (Nguốn:A. Bigalke et al, Mathematik, Grundlaurs ma-1, Carnelsen 2010).

Đường dạo ven hồ chạy dọc theo trục Oy dài 560 mét

ĐúngSai

Điểm có tọa độ (1;0) là điểm cách bờ hồ đối diện một khoảng 500m theo phương thẳng đứng

ĐúngSai

Khoảng cách xa nhất theo phương thẳng đứng của một điểm trên trục Ox đến bờ hồ đối diện là 810m

ĐúngSai

Trong công viên có một con đưởng chạy dọc theo đồ thị hàm số $y = - 1, 5 x + 18$ . Ngưởi ta dự định xây dựng bên bở hồ một bến thuyền đạp nước sao cho khoảng cách từ bến thuyền đến con đưởng này là ngắn nhất. Tọa độ của điểm để xây bến thuyền này là (a,b) thì a+b=13,4

ĐúngSai

Giải thích

a) Trong Hình , đồ thị của hàm số $y = f (x) = \frac{1}{10} (- x^{3} + 9 x^{2} - 15 x + 56)$ cắt tia Oy tại điểm có tung độ y=5,6. Vậy đưởng dạo ven hồ chạy dọc theo trục Oy dài 560m.

b) Ta khảo sát hàm số: $f (x) = \frac{1}{10} (- x^{3} + 9 x^{2} - 15 x + 56)$ với $0 \leq x \leq 8$ ,

$f^{'} (x) = \frac{1}{10} (- 3 x^{2} + 18 x - 15);$ $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow - x^{2} + 6 x - 5 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 5 \end{array} .$

Bảng biến thiên:

Vậy khoảng cách theo phương thẳng đứng từ điểm (1;0) trên đưởng đi dạo ven hồ (chạy dọc theo trục Ox) đến bở hồ đối diện là:490 m chứ không phải 500m

c) Đúng

d) Xét điểm $M (x; f (x))$ thuộc đồ thị hàm số $y = f (x) = \frac{1}{10} (- x^{3} + 9 x^{2} - 15 x + 56)$ với $0 \leq x \leq 8$ .

Khoảng cách từ điểm $M (x; f (x))$ đến đưởng thẳng $y = - 1, 5 x + 18 \Leftrightarrow - 1, 5 x - y + 18 = 0$ là: $M H = \frac{| - 1, 5 x - \frac{1}{10} (- x^{3} + 9 x^{2} - 15 x + 56) + 18 |}{\sqrt{(- 1, 5)^{2} + 1}} = \frac{| x^{3} - 9 x^{2} + 124 |}{10 \sqrt{3, 25}} .$

Ta khảo sát hàm số: $h (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 124$ với $0 \leq x \leq 8$ .

$h^{'} (x) = 3 x^{2} - 18 x;$ $h^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 6 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 6 \end{array} .$ Bảng biến thiên:

Căn cứ bảng biến thiên, ta có: $h (x) > 0$ với $0 \leq x \leq 8$ ; $\underset{[0; 8]}{m i n} h (x) = h (6) = 16 t a i x = 6 .$ Do đó, $m i n M H = \underset{[0; 8]}{m i n} \frac{| x^{3} - 9 x^{2} + 124 |}{10 \sqrt{3, 25}} = \frac{1}{10 \sqrt{3, 25}} \cdot \underset{[0; 8]}{m i n} h (x) = \frac{16}{10 \sqrt{3, 25}} \approx 0, 8875$

và đạt được tại $x = 6$ . Khi đó, $f (6) = 7, 4$ .

Vậy trong mặt phẳng toạ độ Oxy ở, điểm để xây bến thuyển có toạ độ là $M (6; 7, 4)$ .