Một hộ nông dân định trồng bắp và khoai lang trên diện tích 4ha. Trên diện tích mỗi ha, nếu trồng bắp thì cần 10 công và thu 2 triệu đồng, nếu trồng khoai lang thì cần 15 công và thu 2,5 triệ

Gọi \(x,y(ha)\) lần lượt là số \[ha\] trồng bắp và khoai lang.

Điều kiện \(0 \le x \le 4;0 \le y \le 4;x + y \le 4\); \(10x + 15y \le 45 \Rightarrow 2x + 3y \le 9\)

Số tiền thu được là \(T(x,y) = 2x + 2,5y\) (triệu đồng).

Ta có hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 \le x \le 4}\\{0 \le y \le 4}\\{x + y \le 4}\\{2x + 3y \le 9}\end{array}} \right.\)\((*)\)

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của \(T(x;y) = 2x + 2,5y\) trên miền nghiệm của hệ \((*)\).

Tìm tọa độ các điểm \(O,A,B,C\).

Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{2x + 3y - 9 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y = 3}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(A(0;3)\).

Tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 4 = 0}\\{2x + 3y - 9 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y = 1}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(B(3;1)\).

Tọa độ điểm \(C\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 4 = 0}\\{y = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4}\\{y = 0}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(C(4;0)\).

Tọa độ điểm \(O(0;0)\).

Ta thấy \(T(x;y) = 2x + 2,5y\) đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại các điểm \(O,A,B,C\).

Tại \(A(0;3)\) thì \(T = 2.0 + 2,5.3 = 7,5\) (triệu đồng).

Tại \(B(3;1)\) thì \(T = 2.3 + 2,5.1 = 8,5\) (triệu đồng).

Tại \(C(4;0)\) thì \(T = 2.4 + 2,5.0 = 8\) (triệu đồng).

Tại \(O(0;0)\) thì \(T = 2.0 + 2,5.0 = 0\) (triệu đồng).

Vậy cần trồng \(3ha\) bắp và \(1ha\) khoai lang để thu được số tiền nhiều nhất.