Một hộ gia đình sản xuất chiếu cói, mỗi ngày sản xuất được x chiếc chiếu ( 0 ≤ x ≤ 20 ) . Chi phí biên để sản xuất x chiếc chiếu (nghìn đồng) cho bởi hàm số C ′ ( x ) = 3x^2 − 4x + 10

18/22

Một hộ gia đình sản xuất chiếu cói, mỗi ngày sản xuất được \[x\] chiếc chiếu \[(0 \le x \le 20)\]. Chi phí biên để sản xuất \[x\] chiếc chiếu (nghìn đồng) cho bởi hàm số \[C'(x) = 3{{\rm{x}}^2} - 4x + 10\]( giả sử hàm chi phí là \[C(x)\] thì đạo hàm \[C'(x)\] gọi là chi phí biên, biểu thị tốc độ thay đổi tức thời của chi phí đối với số lượng đơn vị hàng hóa được sản xuất). Biết rằng chi phí cố định ban đầu để sản xuất là 500 nghìn đồng. Giả sử gia đình này bán hết chiếu mỗi ngày với giá 270 nghìn đồng/chiếc chiếu. Tính lợi nhuận tối đa theo đơn vị nghìn đồng mà gia đình đó thu được?

Giải thích

Đáp án: 7900.

\[C(x) = \int {C'(x)d{\rm{x}} = } \int {(3{{\rm{x}}^2} - 4x + 10} )d{\rm{x}} = {{\rm{x}}^3} - 2{x^2} + 10x + C\]

Ta có \[C(0) = 500 \Rightarrow C = 500 \Rightarrow C(x) = {x^3} - 2{{\rm{x}}^2} + 10{\rm{x}} + 500\]

\[L(x) = 270{\rm{x}} - ({x^3} - 2{{\rm{x}}^2} + 10{\rm{x}} + 500) = - {x^3} + 2{x^2} + 260{\rm{x}} - 500 \Rightarrow L'(x) = - 3{{\rm{x}}^2} + 4{\rm{x}} + 260\].

\[L'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 10;x = - \frac{{26}}{3}\]

Vì \[0 \le x \le 20\] nên có \[L(0) = 500;L(10) = 1400;L(20) = 7900\].

Vậy lợi nhuận tối đa là 7900 nghìn đồng.