Một hộ gia đình sản xuất chăn mùa đông mỗi ngày sản xuất đươc x chiếc ( 0 ≤ x ≤ 20 ) . Chi phí biên để sản xuất x chiếc chăn (tính bằng nghìn đồng) cho bởi hàm số sau C ′ ( x ) = 3x^2 − 4x

47/50

Một hộ gia đình sản xuất chăn mùa đông mỗi ngày sản xuất đươc x chiếc \(\left( {0 \le x \le 20} \right)\). Chi phí biên để sản xuất x chiếc chăn (tính bằng nghìn đồng) cho bởi hàm số sau \(C'\left( x \right) = 3{x^2} - 4x + 10\). Biết rằng chi phí cố định ban đầu để sản xuất là 500 nghìn đồng. Giả sử gia đình này bán hết chăn mỗi ngày với giá 270 nghìn đồng/ chiếc chăn. Tính lợi nhuận tối đa theo đơn vị nghìn đồng mà gia đình đó thu được?

\(1300\).

\(1030\).

\(1003\).

\(1103\).

Giải thích

Với \(x\) là số lượng chiếc chăn bán trong ngày (\(0 \le x \le 20\)).

Ta có tổng chi phí để sản xuất \(x\) chiếc chăn là:

\(C\left( x \right) = \int {C'\left( x \right)dx} = \int {\left( {3{x^2} - 4x + 10} \right)dx} = {x^3} - 2{x^2} + 10x + C\).

Do chi phí cố định ban đầu để sản xuất là 500 nghìn đồng nên ta có: \(C\left( 0 \right) = 500 \Rightarrow C = 500\).

Khi đó, tổng lợi nhuận gia đình thu được khi bán \(x\) chiếc chăn là:

\(P\left( x \right) = 270x - \left( {{x^3} - 2{x^2} + 10x + 500} \right) = - {x^3} + 2{x^2} + 260x - 500\).

Có \(P'\left( x \right) = - 3{x^2} + 4x + 260 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 10\\x = - \frac{{26}}{3}\end{array} \right.\).

Vì \(x \in \left[ {0;20} \right]\) nên \(x = 10\) thỏa mãn.

Ta có \(P\left( 0 \right) = - 500;P\left( {10} \right) = 1300;P\left( {20} \right) = - 2500\).

Vậy lợi nhuận tối đa mà gia đình đó thu được là 1300 (nghìn đồng) khi bán được 10 chiếc. Chọn A.