Một hộ gia đình muốn xây dựng một kho chứa mini dạng khối tứ diện OABC tận dụng góc tường nhà (với O là góc tường, ba cạnh OA, OB, OC nằm trên ba mép tường vuông góc).

Đáp án: 2.

Đặt hệ trục tọa độ Oxyz có gốc \(O(0;0;0)\), các tia Ox, Oy, Oz lần lượt chứa các cạnh OA, OB, OC của tứ diện. Gọi tọa độ các điểm là \(A(a;0;0)\), \(B(0;b;0)\), \(C(0;0;c)\) với \(a,b,c > 0\).

Phương trình mặt phẳng \((ABC)\) có dạng mặt phẳng theo đoạn chắn: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\).

Vì mặt phẳng \((ABC)\) đi qua điểm \(M(1;2;1)\) nên ta có hệ thức: \(\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1\).

Thể tích khối tứ diện OABC là: \(V = \frac{1}{6}abc\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM) cho ba số dương \(\frac{1}{a},\frac{2}{b},\frac{1}{c}\), ta có:

\(1 = \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{1}{a} \cdot \frac{2}{b} \cdot \frac{1}{c}}} = 3\sqrt[3]{{\frac{2}{{abc}}}}\) \( \Rightarrow 1 \ge 27 \cdot \frac{2}{{abc}} \Rightarrow abc \ge 54\).

Thể tích nhỏ nhất \({V_{min}} = \frac{1}{6} \cdot 54 = 9{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}\) khi và chỉ khi: \(\frac{1}{a} = \frac{2}{b} = \frac{1}{c} = \frac{1}{3}\) \( \Rightarrow a = 3,b = 6,c = 3\).

Khi đó, phương trình mặt phẳng \((ABC)\) là: \(\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{3} = 1 \Leftrightarrow 2x + y + 2z - 6 = 0\).

Khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến mặt phẳng \((ABC)\) là:

\(d(O,(ABC)) = \frac{{|2 \cdot 0 + 0 + 2 \cdot 0 - 6|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{{| - 6|}}{{\sqrt 9 }} = \frac{6}{3} = 2{\rm{ m}}\).