Một hộ gia đình muốn xây dựng một bể chứa nước có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, thể tích V = 12 m^3 . Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công và vật l

14/22

Một hộ gia đình muốn xây dựng một bể chứa nước có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, thể tích $V = 12{m^3}$. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công và vật liệu xây đáy là 500 nghìn đồng $/{m^2}$, xây thành bể là 300 nghìn đồng $/{m^2}$. Gọi $x$ là chiều rộng của đáy bể, $h$ là chiều cao của bể ($x > 0,h > 0$, đơn vị: $m$).

Tổng chi phí xây dựng bể nước là $T(x) = 500{x^2} + \frac{{10800}}{x}$ (nghìn đồng).

ĐúngSai

Chiều cao của bể nước tính theo $x$ là $h = \frac{6}{{{x^2}}}$ ($m$).

ĐúngSai

Thể tích của bể được tính bằng công thức $V = 2{x^2}h$ (${m^3}$).

ĐúngSai

Tổng chi phí tối thiểu để xây dựng bể là 9234 (nghìn đồng) (không làm tròn kết quả các phép toán trung gian, chỉ làm tròn kết quả phép toán cuối cùng đến hàng đơn vị).

ĐúngSai

Giải thích

a) Sai.

Đáy bể là hình chữ nhật có chiều rộng $x$, chiều dài là 2$x$.

Diện tích đáy bể là: ${S_{{\rm{day}}}} = x \cdot 2x = 2{x^2}$.

Chi phí để xây phần đáy bể là: $500 \cdot 2{x^2} = 1000{x^2}$ (nghìn đồng).

Thể tích bể là $V = {S_{{\rm{d\'a y}}}} \cdot h = 2{x^2}h$. Do $V = 12$ nên $2{x^2}h = 12 \Rightarrow h = \frac{6}{{{x^2}}}$.

Diện tích xung quanh của bể (gồm 4 mặt bên, không nắp) là: ${S_{{\rm{xq}}}} = 2 \cdot (x \cdot h) + 2 \cdot (2x \cdot h) = 6xh$.

Chi phí để xây phần thành bể là: $300 \cdot 6xh = 1800xh$.

Thay $h = \frac{6}{{{x^2}}}$ vào, ta được chi phí xây thành bể là: $1800x \cdot \frac{6}{{{x^2}}} = \frac{{10800}}{x}$ (nghìn đồng).

Tổng chi phí xây dựng bể là:

$T(x) = 1000{x^2} + \frac{{10800}}{x}{\rm{ (ngh\`i n dong)}}$

Biểu thức của bài toán đưa ra bị sai ở hệ số của ${x^2}$.

b) Đúng.

Như đã chứng minh ở ý a), từ công thức thể tích $V = 2{x^2}h$ và giả thiết $V = 12$, ta có:

$2{x^2}h = 12 \Leftrightarrow {x^2}h = 6 \Leftrightarrow h = \frac{6}{{{x^2}}}$ ($m$).

c) Đúng.

Theo dữ kiện đề bài, đáy bể có chiều rộng là $x$, chiều dài gấp đôi chiều rộng nên là 2$x$.

Thể tích của bể nước hình hộp chữ nhật được tính bằng tích của diện tích đáy và chiều cao:

$V = (x \cdot 2x) \cdot h = 2{x^2}h$ (${m^3}$).

d) Đúng.

Xét hàm số chi phí $T(x) = 1000{x^2} + \frac{{10800}}{x}$ với điều kiện $x > 0$.

Ta có đạo hàm:

$T'(x) = 2000x - \frac{{10800}}{{{x^2}}} = \frac{{2000{x^3} - 10800}}{{{x^2}}}$

$a) Đúng. Ta có hệ số góc băng $f\left( \pi (ảnh 1)$
Cho \(T'(x) = 0 \Leftrightarrow 2000{x^3} - 10800 = 0 \Leftrightarrow {x^3} = 5,4 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{5,4}}$ (thỏa mãn $x > 0$).

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số $T(x)$ liên tục trên khoảng $(0; + \infty )$ và đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = \sqrt[3]{{5,4}}$.

Khi đó, chi phí tối thiểu để xây bể là: $T(\sqrt[3]{{5,4}}) = 1000{(\sqrt[3]{{5,4}})^2} + \frac{{10800}}{{\sqrt[3]{{5,4}}}} \approx 9233,87$.

Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo yêu cầu bài toán, tổng chi phí tối thiểu là 9234 (nghìn đồng).