Một hình hộp chữ nhật có đường chéo chính bằng 3 m thì thể tích lớn nhất bằng:

Phương pháp giải:

Xác định công thức tính đường chéo chính

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy

Giải chi tiết:

Gọi ba cạnh hình hộp chữ nhật là \[a;\,\,b;\,\,c.\] Khi đó: \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 9\) và \(V = abc.\) Do đó, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có ngay:

\(\begin{array}{l}\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3} \ge \sqrt[3]{{{a^2}{b^2}{c^2}}}\\ \Rightarrow \frac{9}{3} \ge \sqrt[3]{{{a^2}{b^2}{c^2}}}\\ \Rightarrow 3 \ge \sqrt[3]{{{V^2}}}\\ \Rightarrow 27 \ge {V^2}\\ \Rightarrow V \le \sqrt {27} = 3\sqrt 3 \end{array}\)

 Thể tích lớn nhất bằng \(3\sqrt 3 \) khi \({a^2} = {b^2} = {c^2} \Rightarrow a = b = c\)

Vậy thể tích lớn nhất bằng \(3\sqrt 3 \) khi hình hộp là hình lập phương.