Một hệ thống y tế sử dụng AI để chẩn đoán bệnh dựa trên ảnh chụp X-quang. Biết tỉ lệ người mắc bệnh thực sự trong tập mẫu là 15%. Nếu một người có bệnh, AI nhận diện đúng với xác suất 90%.
Gọi các biến cố:
\(B\): Người đó mắc bệnh.
\(\bar B\): Người đó không mắc bệnh.
\(A\): AI chẩn đoán "có bệnh".
\(\bar A\): AI chẩn đoán "không bệnh".
Theo đề bài, ta có các xác suất sau:
Tỉ lệ người mắc bệnh thực sự: \(P(B) = 0,15\).
Suy ra tỉ lệ người không mắc bệnh: \(P(\bar B) = 1 - P(B) = 1 - 0,15 = 0,85\).
Nếu một người có bệnh, AI nhận diện đúng (AI chẩn đoán "có bệnh"): \(P(A|B) = 0,90\).
Nếu một người không có bệnh, AI nhận diện sai (AI chẩn đoán "có bệnh"): \(P(A|\bar B) = 0,05\).
Từ đó, ta có thể suy ra các xác suất khác:
Nếu một người có bệnh, AI nhận diện sai (AI chẩn đoán "không bệnh"):
\(P(\bar A|B) = 1 - P(A|B) = 1 - 0,90 = 0,10\).
Nếu một người không có bệnh, AI nhận diện đúng (AI chẩn đoán "không bệnh"):
\(P(\bar A|\bar B) = 1 - P(A|\bar B) = 1 - 0,05 = 0,95\).
a) Xác suất AI chẩn đoán sai (âm tính giả hoặc dương tính giả).
AI chẩn đoán sai bao gồm hai trường hợp:
1. Âm tính giả: \(P(\bar A \cap B) = P(\bar A|B) \cdot P(B) = 0,10 \cdot 0,15 = 0,015\).
2. Dương tính giả: \(P(A \cap \bar B) = P(A|\bar B) \cdot P(\bar B) = 0,05 \cdot 0,85 = 0,0425\).
Xác suất AI chẩn đoán sai là: \(P(\bar A \cap B) + P(A \cap \bar B) = 0,015 + 0,0425 = 0,0575\).
Vậy, phát biểu a) là Đúng.
b) Xác suất một người ngẫu nhiên được AI chẩn đoán là "có bệnh".
\(P(A) = P(A|B) \cdot P(B) + P(A|\bar B) \cdot P(\bar B)\)\( = (0,90 \cdot 0,15) + (0,05 \cdot 0,85)\)\( = 0,1775\).
Vậy, phát biểu b) là Đúng.
c) Để xác suất chẩn đoán đúng bệnh của AI lên tới 95%, cần nâng cấp hệ thống sao cho AI nhận diện đúng người có bệnh (độ nhạy) lên tối thiểu 99%.
Xác suất chẩn đoán đúng bệnh của AI là:\(P(A \cap B) + P(\bar A \cap \bar B)\)
\(P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B)\) (AI chẩn đoán đúng người có bệnh)
\(P(\bar A \cap \bar B) = P(\bar A|\bar B) \cdot P(\bar B)\) (AI chẩn đoán đúng người không có bệnh)
\(P(A \cap B) = 0,90 \cdot 0,15 = 0,135\).
\(P(\bar A \cap \bar B) = 0,95 \cdot 0,85 = 0,8075\).
Độ chính xác hiện tại: \(0,135 + 0,8075 = 0,9425\).
Giả sử ta nâng cấp hệ thống, gọi độ nhạy mới là \(x = P(A|B)\). Ta muốn độ chính xác tổng thể đạt 95%.
Giả định tỉ lệ dương tính giả \(P(A|\bar B)\) không đổi là \(0,05\).
Khi đó, \(P(\bar A|\bar B) = 1 - P(A|\bar B) = 1 - 0,05 = 0,95\).
Độ chính xác tổng thể mới sẽ là:
\(x \cdot P(B) + P(\bar A|\bar B) \cdot P(\bar B)\)\( = x \cdot 0,15 + 0,95 \cdot 0,85\)\( = 0,15x + 0,8075\).
Để độ chính xác tổng thể lên tới 95%, suy ra: \(0,15x + 0,8075 \ge 0,95\)\( \Rightarrow x \ge 0,95\).
Vậy, để độ chính xác tổng thể đạt 95%, độ nhạy (\(P(A|B)\)) cần được nâng lên tối thiểu 95%.
Vậy, phát biểu c) là Sai.
d) Nếu AI chẩn đoán một người "có bệnh", xác suất người đó thực sự mắc bệnh lớn hơn 0,75.
Đây là xác suất hậu nghiệm \(P(B|A)\) (Positive Predictive Value - Giá trị dự đoán dương tính).
\(P(B|A) = \frac{{P(A|B) \cdot P(B)}}{{P(A)}}\)
Ta đã tính được \(P(A) = 0,1775\) và \(P(A|B) \cdot P(B) = 0,90 \cdot 0,15 = 0,135\).
\( \Rightarrow P(B|A) = \frac{{0,135}}{{0,1775}} \approx 0,76056 > 0,75\).
Vậy, phát biểu d) là Đúng.