Một hệ thống AI được sử dụng để phát hiện gian lận trong phòng thi. Theo thống kê có 1% thí sinh gian lận, còn 99% thí sinh nghiêm túc. Độ chính xác của hệ thống như sau:

26/40

Thí sinh chọn các phương án đúng theo yêu cầu từ câu 21 đến câu 25 (nếu chọn duy nhất một phương án mà phương án đó là phương án đúng sẽ được tính một nửa số điểm của câu hỏi. Nếu chọn tất cả các phương án đúng sẽ đạt điểm tối đa của câu hỏi).

+) Nếu thí sinh gian lận, hệ thống phát hiện đúng với xác suất 98%.

+) Nếu thí sinh thi nghiêm túc, hệ thống cảnh báo nhầm là gian lận với xác suất 3%. Kiểm tra ngẫu nhiên một thí sinh.

Gọi \(A\)là biến cố “Thí sinh thực sự gian lận” và \(B\)là biến cố “Hệ thống cảnh báo thí sinh gian lận”. Những phương án nào dưới đây đúng?

Chọn tất cả các đáp án đúng (MSQ)

1. Xác suất \(P\left( B \right) = 0,0395\).

2. \(P\left( A \right) = 0,01\) và \(P\left( {\overline A } \right) = 0,99\).

3. \(P\left( {A|B} \right) = 0,7\).

4. Trong số những thí sinh bị hệ thống cảnh báo gian lận, khả năng cao là thí sinh nghiêm túc hơn là gian lận.

Giải thích

Từ dữ kiện đề bài ta có \(P\left( A \right) = 0,01;P\left( {\overline A } \right) = 0,99\); \(P\left( {B|A} \right) = 0,98;P\left( {B|\overline A } \right) = 0,03\).

1. Đúng. Theo công thức xác suất toàn phần ta có:

\(P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right)\)\( = 0,01 \cdot 0,98 + 0,99 \cdot 0,03 = 0,0395\).

2. Đúng. Từ dữ kiện đề ta có \(P\left( A \right) = 0,01;P\left( {\overline A } \right) = 0,99\).

3. Sai. Theo công thức Bayes, có \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,01 \cdot 0,98}}{{0,0395}} \approx 0,25\).

4. Đúng. Theo công thức Bayes, ta có \(P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,99 \cdot 0,03}}{{0,0395}} \approx 0,75\).

Vì \(P\left( {\overline A |B} \right) > P\left( {A|B} \right)\) nên trong số những thí sinh bị hệ thống cảnh báo gian lận, khả năng cao là thí sinh nghiêm túc hơn là gian lận. Chọn 1, 2, 4.