Một hạt Urani được gia tốc trong máy gia tốc hạt và chuyển động với quãng đường đi được theo thời gian tuân theo hàm số s ( t ) = 2^( t /10) + 1 − 2 (mét) với t tính bằng giây và t

a. Vận tốc là đạo hàm của quãng đường theo thời gian:

\(v\left( t \right) = s\prime \left( t \right) = \left( {{2^{\frac{t}{{10}} + 1}} - 2} \right)\prime  = {2^{\frac{t}{{10}} + 1}} \cdot \ln 2 \cdot \left( {\frac{t}{{10}} + 1} \right)\prime  = \frac{1}{{10}} \cdot {2^{\frac{t}{{10}} + 1}} \cdot \ln 2\left( {\;{\rm{m}}/{\rm{s}}} \right)\)

Chọn Sai.

b. Gia tốc của hạt là:

\(a(t) = {v^\prime }(t) = \frac{1}{{10}} \cdot \ln 2 \cdot {\left( {{2^{\frac{t}{{10}} + 1}}} \right)^\prime } = \frac{1}{{100}} \cdot {2^{\frac{t}{{10}} + 1}} \cdot {(\ln 2)^2} > 0\)

Vì gia tốc \(a(t)\) vẫn phụ thuộc vào \(t\) (biến thiên theo hàm mũ) nên đây không phải là chuyển động nhanh dần đều (gia tốc phải là hằng số).

Chọn Sai.

c. Đổi 2 phút \( = 120\) giây. Quãng đường đi được trong 2 phút đầu là:

\(s(120) = {2^{\frac{{120}}{{10}} + 1}} - 2 = {2^{13}} - 2 = 8192 - 2 = 8190(\;{\rm{m}}) = 8,19\;{\rm{km}}\)

Vì \(8,19 < 8,5\) nên khẳng định hạt đi được hơn \(8,5\;{\rm{km}}\)

Chọn Sai.

d. Để \(v\left( t \right) \ge 3 \cdot {10^{7,5}}\):

\(\frac{1}{{10}} \cdot {2^{\frac{t}{{10}} + 1}} \cdot \ln 2 \ge 3 \cdot {10^{7,5}} \Leftrightarrow \)\({2^{\frac{t}{{10}} + 1}} \ge \frac{{30 \cdot {{10}^{7,5}}}}{{\ln 2}} \Leftrightarrow \)\(\frac{t}{{10}} + 1 \ge {\log _2}\left( {\frac{{30 \cdot {{10}^{7,5}}}}{{\ln 2}}} \right) \Leftrightarrow \)\(t \ge 293,5\)

Đổi ra phút: \(t \approx 4,89\) phút.

Như vậy, mất ít nhất khoảng 5 phút để hạt đạt vận tốc yêu cầu.

Chọn Đúng.